Question

如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），與x軸的正半軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)l的解析式為y=x+4，與x軸相交于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）判斷直線(xiàn)l與⊙E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，當(dāng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離最小時(shí)．求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專(zhuān)題】壓軸題．

【分析】（1）連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的長(zhǎng)，結(jié)合垂徑定理求出OC的長(zhǎng)，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)的解析式；

（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，0），根據(jù)△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判斷出直線(xiàn)l與⊙E相切與A．

（3）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段PQ，垂足為Q，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PM垂直于x軸，交直線(xiàn)l于點(diǎn)M．設(shè)M（m， m+4），P（m，﹣ m²+m﹣4），得到PM=m+4﹣（﹣m²+m﹣4）=m²﹣m+8=（m﹣2）²+，根據(jù)△PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變，得到PQ最小=PM_最小•sin∠QMP=PM_最小•sin∠AEO=×=，從而得到最小距離．

【解答】解：（1）如圖1，連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4，

∵OC⊥AB，

∴由垂徑定理得，OB=OA=4，

OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），

∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C，

∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣8）²，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣，

∴y=﹣（x﹣8）²，

∴y=﹣x²+x﹣4為所求拋物線(xiàn)的解析式，

（2）在直線(xiàn)l的解析式y(tǒng)=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=﹣，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=4，

∴點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵=， =，

∴=，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直線(xiàn)l與⊙E相切與A．

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段PQ，垂足為Q，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PM垂直于x軸，交直線(xiàn)l于點(diǎn)M．

設(shè)M（m， m+4），P（m，﹣ m²+m﹣4），則

PM=m+4﹣（﹣m²+m﹣4）=m²﹣m+8=（m﹣2）²+，

當(dāng)m=2時(shí)，PM取得最小值，

此時(shí)，P（2，﹣），

對(duì)于△PQM，

∵PM⊥x軸，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變，

∴在動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△PQM的三邊的比例關(guān)系不變，

∴當(dāng)PM取得最小值時(shí)，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM_最小•sin∠QMP=PM_最小•sin∠AEO=×=，

∴當(dāng)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣）時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離最小，其最小距離為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及勾股定理、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要注意點(diǎn)P、點(diǎn)M坐標(biāo)的設(shè)法，以便利用二次函數(shù)的最值求解．