Question

18．探究：如圖①，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高線，以點D為中點作線段EF，且EF不與BC邊重合，以EF為邊作等邊三角形EFG，連結AG，GD，CF．求證：△ADG∽△CDF；
應用：如圖②，將線段EF繞著點D逆時針旋轉，當點F落在AD上時，延長CF交AG于點H，求∠AHF的度數(shù)．

Answer 1

分析 探究：如圖①由△ABC是等邊三角形，D是EF的中點，于是得到GD⊥EF，由于AD⊥BC，推出∠ADF+∠ADG=∠CDF+∠ADF，于是得到∠ADG=∠CDF，根據△ABC與△EFG是等邊三角形，得到△ABC∽△EFG，根據相似三角形的性質得到$\frac{AD}{GD}=\frac{CD}{DF}$，即可得到結論；
應用：如圖②，根據相似三角形的性質得到∠GAD=∠FCD，由于∠FDC=90°，∠AFH=∠CFD，于是得到∠GAD+∠AFH=∠FCD+∠CFD=90°，即可得到結果．

解答 解：探究：如圖①∵△ABC是等邊三角形，D是EF的中點，
∴GD⊥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADF+∠ADG=∠CDF+∠ADF，
∴∠ADG=∠CDF，
∵△ABC與△EFG是等邊三角形，
∴△ABC∽△EFG，
∴$\frac{AD}{GD}=\frac{CD}{DF}$，
∴△ADG∽△CDF；
應用：如圖②，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠GAD=∠FCD，
∵∠FDC=90°，∠AFH=∠CFD，
∴∠GAD+∠AFH=∠FCD+∠CFD=90°，
∴∠AHF=90°．

點評 本題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質，證明△ADG∽△CDF是解題的關鍵．