Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且B（1，0）

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）如圖1，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線y=x平分∠APB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，已知直線y=x﹣分別與x軸、y軸交于C、F兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線CF下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，交直線CF于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上，連接QE．問：以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）；（2）；P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；（3）以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為．

【解析】試題分析：（1）把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出a的值即可，令y=0，解方程求得x的值，即可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，連接AP交y軸于點(diǎn)B′，可證△OBP≌△OB′P，可求得B′坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AP的解析式，聯(lián)立直線y=x，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部，可知此時(shí)沒有滿足條件的點(diǎn)P；（3）過Q作QH⊥DE于點(diǎn)H，由直線CF的解析式可求得點(diǎn)C、F的坐標(biāo)，結(jié)合條件可求得tan∠QDH，可分別用DQ表示出QH和DH的長(zhǎng)，分DQ=DE和DQ=QE兩種情況，分別用DQ的長(zhǎng)表示出△QDE的面積，再設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△QDE的面積的最大值．

試題解析：

（1）把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，

可得a+2﹣3=0，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3，

令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）；

（2）若y=x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，

如圖1，若P點(diǎn)在x軸上方，PA與y軸交于點(diǎn)B′，

由于點(diǎn)P在直線y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，

在△BPO和△B′PO中，

∠POB=∠PCB/，OP=OP，∠BPO=∠B/PO，

∴△BPO≌△B′PO（ASA），

∴BO=B′O=1，

設(shè)直線AP解析式為y=kx+b，把A、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得

，解得，

∴直線AP解析式為y=x+1，

聯(lián)立，解得，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；

若P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，同理可得△BOP≌△B′OP，

∴∠BPO=∠B′PO，

又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部，

∴∠APO≠∠BPO，即此時(shí)沒有滿足條件的P點(diǎn)，

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；

（3）如圖2，作QH⊥CF，交CF于點(diǎn)H，

∵CF為y=x﹣，

∴可求得C（，0），F（0，﹣），

∴tan∠OFC==，

∵DQ∥y軸，

∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，

∴tan∠HDQ=，

不妨設(shè)DQ=t，DH=t，HQ=t，

∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，

∴若DQ=DE，則S△DEQ=DEHQ=×t×t=t2，

若DQ=QE，則S△DEQ=DEHQ=×2DHHQ=×t×t=t2，

∵t2＜t2，

∴當(dāng)DQ=QE時(shí)△DEQ的面積比DQ=DE時(shí)大．

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則D（x， x﹣），

∵Q點(diǎn)在直線CF的下方，

∴DQ=t=x﹣﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣x+，

當(dāng)x=﹣時(shí)，tmax=3，

∴（S△DEQ）max=t2=，

即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為．