Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為(3，0)、(3，4)．動點M、N分別從O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連結MP．已知動點運動了x秒．

(1)P點的坐標為(________，________)；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)試求△MPA面積的最大值，并求此時x的值；

(3)請你探索：當x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？你發(fā)現(xiàn)了幾種情況？寫出你的研究成果．

Answer 1

答案：
解析：

(1)(3－x，x); 　　(2)設△MPA的面積為S，在△MPA中，MA＝3－x，MA邊上的高為x，其中，0≤x≤3，∴S＝(3－x)·x＝(－x2＋3x)＝－(x－)2＋，∴S的最大值為，此時x＝; 　　(3)延長NP交x軸于Q，則有PQ⊥OA.①若MP＝PA，∵PQ⊥MA，∴MQ＝QA＝x．∴3x＝3．∴x＝1．②若MP＝MA，則MQ＝3－2x，PQ＝x，PM＝MA＝3－x．在Rt△PMQ中，∵PM2＝MQ2＋PQ2，∴(3－x)2＝(3－2x)2＋(x)2．∴x＝．③若PA＝AM，∵PA＝x，AM＝3－x．∴x＝3－x．∴x＝．綜上所述，x＝1，或x＝，或x＝．