Question

重慶潼南某一蔬菜種植基地種植的一種蔬菜，它的成本是每千克2元，售價(jià)是每千克3元，年銷量為10（萬(wàn)千克）．多吃綠色蔬菜有利于身體健康，因而綠色蔬菜倍受歡迎，十分暢銷．為了獲得更好的銷量，保證人民的身體健康，基地準(zhǔn)備拿出一定的資金作綠色開發(fā)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每年投入綠色開發(fā)的資金X（萬(wàn)元），該種蔬菜的年銷量將是原年銷量的m倍，它們的關(guān)系如下表：

x（萬(wàn)元）	0	1	2	3	4	…
m	1	1.5	1.8	1.9	1.8	…

（1）試估計(jì)并驗(yàn)證m與x之間的函數(shù)類型并求該函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若把利潤(rùn)看著是銷售總額減去成本費(fèi)和綠色開發(fā)的投入資金，試求年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）與綠色開發(fā)投入的資金x（萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；并求投入的資金不低于3萬(wàn)元，又不超過(guò)5萬(wàn)元時(shí)，x取多少時(shí)，年利潤(rùn)最大，求出最大利潤(rùn)．
（3）基地經(jīng)調(diào)查：若增加種植人員的獎(jiǎng)金，從而提高種植積極性，又可使銷量增加，且增加的銷量y（萬(wàn)千克）與增加種植人員的獎(jiǎng)金z（萬(wàn)元）之間滿足y=-z²+4z，若基地將投入5萬(wàn)元用于綠色開發(fā)和提高種植人員的獎(jiǎng)金，應(yīng)怎樣分配這筆資金才能使年利潤(rùn)達(dá)到17萬(wàn)元且綠色開發(fā)投入大于獎(jiǎng)金？

2

=1.4．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意判斷出函數(shù)解析式的形式，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，可求出m與x的二次函數(shù)關(guān)系式．
（2）根據(jù)題意可知S=（3-2）×10m-x=-x²+5x+10；
（3）將m代入（2）中的W=-x²+5x+10，故W=-m²+5m+10；再將（5-m）代入y=-z²+4z，故y=-（5-m）²+4（5-m）=-m²+6m-5，由于單位利潤(rùn)為1，所以由增加獎(jiǎng)金而增加的利潤(rùn)就是-m²+6m-5，進(jìn)而求出總利潤(rùn)W'=（-m²+5m+10）+（-m²+6m-5）-（5-m）=-2m²+12m，即可得出答案．

解答：解：（1）根據(jù)不是一次函數(shù)（不是線性的），也不是反比例函數(shù)（m*x的值不是常數(shù)），所以選擇二次函數(shù)，
設(shè)m與x的函數(shù)關(guān)系式為m=ax²+bx+c，
由題意得：

c=1 a+b+c=1.5 4a+2b+c=1.8

，
解得：

a=-0.1 b=0.6 c=1

，
∴m與x的函數(shù)關(guān)系式為：m=-0.1x²+0.6x+1；

（2）∵利潤(rùn)=銷售總額減去成本費(fèi)和綠色開發(fā)的投入資金，
∴W=（3-2）×10m-x=-x²+5x+10；
當(dāng)x=-

b

2a

=2.5時(shí)，W最大，
∵由于投入的資金不低于 3 萬(wàn)元，又不超過(guò) 5 萬(wàn)元，所以3≤x≤5，
而a=-1＜0，拋物線開口向下，且取值范圍在頂點(diǎn)右側(cè)，W隨x的增大而減小，故最大值在x=3處，
∴當(dāng)x=3時(shí)，W最大為：16萬(wàn)元；

（3）設(shè)用于綠色開發(fā)的資金為m萬(wàn)元，則用于提高獎(jiǎng)金的資金為（5-m）萬(wàn)元，
將m代入（2）中的W=-x²+5x+10，故W=-m²+5m+10；
將（5-m）代入y=-z²+4z，故y=-（5-m）²+4（5-m）=-m²+6m-5，
由于單位利潤(rùn)為1，所以由增加獎(jiǎng)金而增加的利潤(rùn)就是-m²+6m-5；
所以總利潤(rùn)W'=（-m²+5m+10）+（-m²+6m-5）-（5-m）=-2m²+12m，
因?yàn)橐�使年利�?rùn)達(dá)到17萬(wàn)，所以-2m²+12m=17，
整理得2m²-12m+17=0，
解得：m=

6+ 2

2

≈3.7或m=

6- 2

2

≈2.3，而綠色開發(fā)投入要大于獎(jiǎng)金，
所以m=3.7，5-m=1.3．
所以用于綠色開發(fā)的資金為3.7萬(wàn)元，獎(jiǎng)金為1.3萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一元二次方程的解法等知識(shí)，根據(jù)已知得出由增加獎(jiǎng)金而增加的利潤(rùn)是解題關(guān)鍵．