Question

【題目】解答
（1）如圖，在直線m的同側(cè)有A，B兩點(diǎn)，在直線m上找點(diǎn)P，Q，使PA+PB最小，|QB﹣QA|最大（保留作圖痕跡）

（2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A（2，3），B（4，5），請(qǐng)分別在x軸，y軸上找點(diǎn)P，Q，使PA+PB最小，|QB﹣QA|最大，則點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為 ，
（3）代數(shù)式 + 的最小值是 ， 此時(shí)x=
（4）代數(shù)式 ﹣ 的最大值是 ， 此時(shí)x= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：①作點(diǎn)A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與直線m交于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小，點(diǎn)P如圖所示．

②延長BA交直線m于Q，此時(shí)，|QB﹣QA|最大，點(diǎn)Q如圖所示．

（2）（ ，0）；（0，1）
（3）10；
（4）2；﹣1
【解析】解（2）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（2，﹣3），
直線A′B的解析式為y=4x﹣11，y=0時(shí)，x= ，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)（ ，0）．
直線AB解析式為y=x+1，與y軸的交點(diǎn)為（0，1），
所以點(diǎn)Q坐標(biāo)（0，1）．
所以答案是（ ，0），（0，1）
3）∵ + = + ，
欲求 + 的最小值，
可以看作在x軸上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到（4，5），（2，3）的距離之和最小，
由（2）可知x= ，最小值= =10，
所以答案是10， ．
4）∵ ﹣ ═ ﹣ ，
欲求 ﹣ 的最大值，
可以看作在x軸上找一點(diǎn)Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距離之和最大，
∵直線AB解析式為y=x+1，與x軸交于點(diǎn)Q（﹣1，0），
∴x=﹣1時(shí)，此時(shí)最大值=2 ．
所以答案是2 ，﹣1．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解軸對(duì)稱-最短路線問題的相關(guān)知識(shí)，掌握已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．