Question

如圖，⊙O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，直線y＝x＋b(b＞0)與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O關(guān)于直線y＝x＋b的對稱點(diǎn)O′．

(1)求證：四邊形OAO′B是菱形；

(2)當(dāng)點(diǎn)O′落在⊙O上時，求b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：

一次函數(shù)綜合題；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的判定。

專題：

計(jì)算題；證明題。

分析：

(1)根據(jù)軸對稱得出直線y＝x＋b是線段OO′D的垂直平分線，推出AO＝AO′，BO＝BO′，求出AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案；

(2)設(shè)直線y＝x＋b與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：

(1)證明：∵點(diǎn)O關(guān)于直線y＝x＋b的對稱，

∴直線y＝x＋b是線段OO′D的垂直平分線，

∴AO＝AO′，BO＝BO′，

又∵OA，OB是⊙O的半徑，

∴OA＝OB，

∴AO＝AO′＝BO＝BO′，

∴四邊形OAO′B是菱形．

(2)解：如圖，當(dāng)點(diǎn)O′落在圓上時，OM＝OO′＝1，

∵設(shè)直線y＝x＋b與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是N(－b，0)，P(0，b)，

∴△ONP為等腰直角三角形，

∴∠ONP＝45°，

∵四邊形OAO′B是菱形，

∴OM⊥PN，

∵∠ONP＝45°＝∠OPN，

∴OM＝PM＝MN＝1，

在Rt△POM中，由勾股定理得：OP＝，

即b＝．

點(diǎn)評：

本題考查了一次函數(shù)，等腰直角三角形，勾股定理，菱形的判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，注意：圖形和已知條件的結(jié)合，題目比較典型，難度也適中，是一道比較好的題目．