Question

如圖．已知H是△ABC的垂心，O是外心，OL⊥BC于L．求證：AH=2OL．

Answer 1

證明：證法1：作OM⊥AC于M，取CH的中點K，連接MK，LK，
則有MK∥AH∥OL，LK∥BH∥OM，
∴四邊形OLKM為平行四邊形，
∴MK=OL．又，
∴AH=2OL．
證法2：連接BO并延長交⊙O于D，連接CD，AD，則CD=2OL．
又∵CD⊥BC，AH⊥BC，
∴AH∥CD．
同理，AD∥HC，
∴四邊形AHCD為平行四邊形，
∴AH=CD，
∴AH=2OL．
分析：分析1：要證AH=2OL，由△CAH中的中位線，轉(zhuǎn)而證明MK=OL即可．由于OL∥AH，MK∥AH，所以O(shè)L∥MK，
因此，只需證明LK∥OM即可．由已知，這是顯然的．
分析2：因為O為△ABC的外心，故可作其外接圓，為了證明AH=2OL，可證AH等于另一線段a，而a=2OL，則AH=2OL．為此，需添加一些輔助線：連接BO并延長交⊙O于D，連接CD，AD即可證得．
點評：此題考查了三角形的垂心與外心的性質(zhì)．解此題要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，合理添加輔助線是解此題的關(guān)鍵．