Question

已知：反比例函數．
（1）若將反比例函數的圖象繞原點O旋轉90°，求所得到的雙曲線C的解析式并畫圖；
（2）雙曲線C上是否存在到原點O距離為的點P？若存在，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立網格平面直角坐標系，然后利用描點法作出反比例函數y=-的圖象，然后找出繞點O旋轉90°后的對應點，再描點連線作出函數圖象即可；
（2）根據函數解析式設出點P的坐標為（a，），然后利用勾股定理列式進行計算即可得解．
解答：解：（1）建立平面直角坐標系如圖，如圖所示，紅色的雙曲線即為雙曲線C，
反比例函數y=-上的點（-2，3）繞點O順時針旋轉90°后對應的點為（3，2），
所以，雙曲線C的解析式為y=；

（2）設點P坐標為（a，），
則a²+（）²=²，
整理得，a⁴-13a²+36=0，
解得a²=4或a²=9，
解得a₁=2，a₂=-2，a₃=3，a₄=-3，
所以=3，=-3，=2，=2，
所以點P的坐標為（2，3）或（-2，-3）或（3，2）或（-3，-2）．
點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，反比例函數圖象，以及反比例函數圖象上點的坐標特征，作出網格平面直角坐標系是解題的關鍵．