Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，BD=4，則四邊形ABCD的面積是________．

Answer 1

8
分析：連接AC，分別過點A、C作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N．根據(jù)四邊形ABCD對角互補，可證A、B、C、D四點共圓，根據(jù)同一條弦對應(yīng)的圓心角相等及已知條件可證△CND∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等比性質(zhì)可得AB+BC的值，則可求四邊形ABCD面積=S_△ABD+S_△CBD．
解答：解：連接AC，分別過點A、C作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，即四邊形ABCD對角互補，
∴A、B、C、D四點共圓，
又∵AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD=×90°=45°（若兩條弦相等，則所對應(yīng)的圓心角相等），
∴AM=BM=AB，CN=BN=BC，
∵∠CDN=∠CAB（同一條弦對應(yīng)的圓心角相等），∠CND=∠CBA=90°，
∴△CND∽△CBA，
∴DN：AB=CN：BC=，
即有（DN+CN）：（AB+BC）=（ 等比 ），
∵BN=CN，
∴（DN+BN）：（AB+BC）=BD：（AB+BC）=，
∴AB+BC=BD=4，
∴四邊形ABCD面積=S_△ABD+S_△CBD=AM•BD+CN•BD=（AM+CN）•BD=×（AB+BC）•BD=××4×4=8．
故答案為：8．
點評：考查了四點共圓，同一條弦對應(yīng)的圓心角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，等比性質(zhì)，三角形的面積計算，綜合性較強，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．