Question

小明家打算建一個(gè)苗圃，苗圃的兩邊靠墻（這兩堵墻互相垂直），另外的部分用30米長(zhǎng)的籬笆圍成．小明的爸爸提出一個(gè)問(wèn)題：怎樣圍才能使苗圃的面積盡可能地大？小明思考后，設(shè)計(jì)了以下三種方案：
方案一：圍成斜邊為30米的等腰直角三角形（如圖1）；
方案二：圍成邊長(zhǎng)為15米的正方形（如圖2）；
方案三：圍成直角梯形，其中∠BCD=120°（如圖3）．
解答下列問(wèn)題：
（1）分別計(jì)算方案一、方案二中苗圃的面積S₁，S₂，并比較S₁，S₂的大�。�
（2）設(shè)方案三中CD的長(zhǎng)為x米，苗圃的面積為S₃平方米，求S₃與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S₃的最大值；
（3）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使圍成的苗圃面積比上述三個(gè)方案中的任何一個(gè)面積都大．（要求在圖4中畫(huà)出草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)，并通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明）

Answer 1

分析：（1）由三角形和正方形的面積公式求得S₁、S₂的大�。�
（2）根據(jù)直角梯形面積公式列出函數(shù)關(guān)系式并求得最大值；
（3）若所圍面積最大，則應(yīng)該圍成扇形，并計(jì)算證明之．

解答：解：（1）S₁=

1

2

×(30sin45°)2=225 m²，
S₂=15×15=225 m²．

（2）S3=

1

2

×(30-x+30-x+

1

2

x)×x×sin60°
=15

3

x-

3 3

8

x2
=-

3 3

8

(x-20)2+150

3

∴當(dāng)x=20時(shí)，S₃取得最大值，為150

3

．

（3）我的方案是圍成一扇形，則計(jì)算面積如下：
l=

π

2

×R=30，R=

60

π

S=

1

2

lR=

1

2

×30×

60

π

=

900

π

比較得知，S、S₁、S₂、S₃中，S最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同學(xué)們應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．