Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OC2=OA·OB.

(1)證明：tan∠BAC· tan∠ABC=1;

(2)若點C的坐標為(0，2)，tan∠OCB=2，

①求該拋物線的表達式;

②若點D是該拋物線上的一點，且位于直線BC上方，當四邊形ABDC的面積最大時，求點D的坐標.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②D.

【解析】

（1）由OC2=OA·OB和∠AOC=∠COB=90°，可判定△AOC∽△COB，可得∠BAC=∠OCB ，再根據(jù)正切的定義即可得證；

（2）①由C點坐標可得OC=2，然后由正切值求出OB，OA，即可得到A、B的坐標，然后采用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式；

②連接AC，過D作DF⊥x軸，交直線BC于點E，設出D點坐標，先求出直線BC解析式，再根據(jù)D、E橫坐標相同求出E點縱坐標，然后采用“鉛錘法”可表示出△BCD的面積，因為△ABC固定，當△BCD面積最大時，則四邊形ABDC面積最大.

解：（1）∵OC2=OA·OB

∴

∵∠AOC=∠COB=90°

∴△AOC∽△COB

∴∠BAC=∠OCB

∴tan∠BAC=tan∠OCB=

又∵tan∠ABC=

∴tan∠BAC· tan∠ABC=1

（2）①∵點C的坐標為(0，2)，tan∠OCB=2

∴OC=2，tan∠OCB==2

∴OB=2OC=4，則B點坐標為（4,0）

又∵OC2=OA·OB

∴OA=，則A點坐標為（-1,0）

將A（-1,0），B（4,0），C (0，2)代入二次函數(shù)表達式得，

，解得，

∴二次函數(shù)表達式為

②如圖，連接AC，過D作DF⊥x軸，交直線BC于點E，

設BC直線解析式為，將B（4,0），C (0，2)代入得，

，解得，

∴BC直線解析式為

設D點坐標為，

則E點橫坐標為m，代入BC直線可得，

即E點坐標為

∴DE=

∴

∵S四邊形ABDC=S△ABC+S△BCD，且S△ABC為定值，

∴當S△BCD取得最大值時，S四邊形ABDC取得最大值.

∵

∴當m=2時，△BCD的面積最大值為4，此時S四邊形ABDC取得最大值，

將x=2時，

∴當四邊形ABDC的面積最大時，D的坐標為.