Question

如圖，以△ABC的三邊為邊分別向形外作正方形ABDE、CAFG、BCHK．連接EF、GH、KD．求證：以EF、GH、KD為邊可以構(gòu)成一個三角形，并且所構(gòu)成的三角形的面積等于△ABC面積的3倍．

Answer 1

證明：把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，
使A、C重合于B，F(xiàn)、G重合于I，連接DI，BI，KI，
∴△DBI≌△AEF，△BIK≌△HCG，
可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，
因此可拼成一個△DIK，
把△GCH繞C點旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCG′，
可得A，C，G′在一條直線上，且C為AG′的中點．
所以S_△BCG′=S_△ABC，因此S_△BIK=S_△ABC，同理S_△DBK=S_△DBI=S_△ABC，
因此由DK、EF、GH為三邊構(gòu)成的△DIK的面積S_△DIK=3S_△ABC．
分析：可以利用正方形的對邊平行而且相等，作出一個以EF、GH、KD為邊的三角形，把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F(xiàn)、G重合于I，△DBI≌△AEF，△BIK≌△HCG，且可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，因此可拼成一個三角形，然后再證明S_△DIK=3S_△ABC，把△GCH繞C點旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCG′，可得A，C，G′在一條直線上，且C為AG′的中點．進(jìn)而由DK、EF、GH為三邊構(gòu)成的△DIK的面積S_△DIK=3S_△ABC．
點評：本題主要考查對三角形的三邊關(guān)系定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．