Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC的平分線AQ交BC于點P，交⊙O于點Q．已知AC=6，∠AQC=30度．
（1）求AB的長；
（2）求點P到AB的距離；
（3）求PQ的長．

Answer 1

（1）因為AB是⊙O的直徑，所以∠ACB=90度．
又因為∠ABC=∠AQC=30°，AC=6，則AB=12．

（2）由（1）可知∠BAC=60°，AO=6，由于AQ是∠BAC的平分線，
所以∠CAQ=∠BAQ=30°，則有∠BAQ=∠ABC=30°，
所以△APB是等腰三角形．
連接PO，則PO就是點P到AB的距離．
在Rt△AOP中，PO=AO•tan30°=2

3

．
故所求點P到AB的距離為2

3

．

（3）因為∠BCQ=∠BAQ=30°，
∴∠AQC=∠BCQ，則PQ=CP，
由于AP是∠BAC的平分線，∠ACP=∠AOP=90°，
所以CP=PO=2

3

，那么PQ=2

3

．