Question

直線與X軸Y軸分別交于點(diǎn)M，N，如果點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓與直線相切，則符合要求的點(diǎn)P個數(shù)可能為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：由題中所述點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，所以要分①當(dāng)P₁點(diǎn)在y軸上，并且在N點(diǎn)的下方；②當(dāng)P₂點(diǎn)在x軸上，并且在M點(diǎn)的左側(cè)；③當(dāng)P₃點(diǎn)在x軸上，并且在M點(diǎn)的右側(cè)；④當(dāng)P₄點(diǎn)在y軸上，并且在點(diǎn)N上方這四種情況討論，再根據(jù)圓的性質(zhì)及相切的條件，以及相似三角形的對應(yīng)邊成比例，從而求出每種情況的P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：分以下幾種情況討論：
①當(dāng)P₁點(diǎn)在y軸上，并且在N點(diǎn)的下方時，設(shè)⊙P₁與直線y=-x+4相切于點(diǎn)A，
連接P₁A，則P₁A⊥MN，
∴∠P₁AN=∠MON=90°．
∵∠P₁NA=∠MNO，
∴△P₁AN∽△MON，
∴
在Rt△OMN中，OM=6，ON=8，
∴MN=10．
又∵，
∴P₁點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4）；
②當(dāng)P₂點(diǎn)在x軸上，并且在M點(diǎn)的左側(cè)時，同理可得P₂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）；
③當(dāng)P₃點(diǎn)在x軸上，并且在M點(diǎn)的右側(cè)時，設(shè)⊙P₃與直線y=-x+4上切于點(diǎn)B，連接P₃B．
則P₃B⊥MN，∴△P₃BM∽△MON，∴=，
又ON=8，MN=10，P₃B=，
∴P₃M=3，∴P₃點(diǎn)坐標(biāo)是（9，0）；
④當(dāng)P₄點(diǎn)在y軸上，并且在點(diǎn)N上方時，同理可得P₄N=4．
∴P₄點(diǎn)坐標(biāo)是（0，12）．
綜上，P點(diǎn)有（0，4），（3，0），（9，0），（0，12）共四個．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的基本性質(zhì)及直線與圓相切的有關(guān)知識，同時還考查了相似三角形的性質(zhì)及分類討論的思想，有一定的難度．