Question

點(diǎn)A在x軸上，OA_＝4，將線段OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

答案：解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO_＝90°.

       ∵∠AOB_＝120°，∴∠BOC_＝60°.

       又∵OA_＝OB_＝4

∴OC_＝OB_＝×4_＝2，BC_＝OB·sin60°_＝4×_＝2.

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(－2，2).                           （4分）

（2）∵拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，∴可設(shè)拋物線解析式為y_＝ax²+bx..

 將A(4，0)，B(－2，2)代入，

得解得

∴此拋物線的解析式為y_＝.                 （8分）

（3）存在.

  如圖，拋物線的對稱軸是x_＝2，直線x_＝2與x軸的交點(diǎn)為D.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，y)

①若OB_＝OP，

則2²+| y |²_＝4²，解得y_＝±2.

當(dāng)y_＝－2時，在Rt△POD中，∠POD_＝90°，

sin∠POD_＝.

∴∠POD_＝60°.

∴∠POB_＝∠POD+∠AOB_＝60°+120°_＝180°，

即P，O，B三點(diǎn)在同一條直線上，

∴y_＝－2不符合題意，舍去. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2).

②若OB_＝PB，則4²+| y －2|²_＝4²，解得y_＝2.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，2).

③若OP_＝PB，則2²+| y |²_＝4²+| y－2 |²，解得y_＝2.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，2).

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個，其坐標(biāo)為(2，2).   （14分）