如圖,矩形ABCD,AB=2,AD=3,點P為AD上一點,PE⊥PC,交AB于E點,點Q在AP上不與P點重合,且QE⊥QC,
(1)求證:AP•DP=AE•DC;
(2)求AP+AQ的值.

(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∠A=∠D=90°,
∵PE⊥PC,
∴∠EPC=90°,
∴∠AEP+∠APE=90°,∠APE+∠DPC=90°,
∴∠AEP=∠DPC,
∵∠A=∠D,
∴△AEP∽△DPC,
=
∴AP•DP=AE•DC.

(2)解:連接CE,取CE中點F,過F作FG∥CD交AD于G,
∵AB∥CD,∠A=90°,
∴AE∥FG∥CD,
∴AG=DGAD=,F(xiàn)G⊥AD,
∵QE⊥CE,PE⊥PC,
∴∠EQC=∠EPC=90°,
∵F為CE中點,
∴QF=CE,PF=CE,
∴QF=PF,
∵FG⊥AD,
∴QG=PG,
∴AP+AQ=AG+GP+AG-GQ=2AG=2×=3.
分析:(1)求出∠A=∠D,∠AEP=∠DPC,證出△AEP∽△DPC即可.
(2)連接CE,取CE中點F,過F作FG∥CD交AD于G,求出AG=DG,求出QF=PF,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出QG=PG,即可得出答案.
點評:本題考查了矩形性質(zhì),直角三角形斜邊上中線性質(zhì),平行線分線段成比例定理,相似三角形的性質(zhì)和判定的應用,主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力.
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