Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=8，以BC為邊，在△ABC外作等邊△BCD，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）如圖2，將圖1中的ABCD折疊，使點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，折痕為GH，求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠BAC=90°，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，

∴AE= BC=BE，

∵∠ACB=30°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠AEB=60°，

∵△BCD是等邊三角形，

∴∠DBC=∠BCD=60°，

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=30°+60°=90°，

∵∠DBC=∠AEB=60°，∠BAC=∠ACD=90°，

∴AB∥CD，BD∥AF，

∴四邊形ABDF是平行四邊形

（2）

解：∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=8，

∴AB=4，AC= = =4 ，

∵△BCD是等邊三角形，

∴CD=BC=8，

設(shè)CG=x，則DG=8﹣x，

在Rt△ACG中，AG2=AC2+CG2，

即：（8﹣x）2=x2+（4 ）2，

解得：x=1，

∴CG=1

【解析】（1）先證明△ABE是等邊三角形，得出∠AEB=60°，由△BCD是等邊三角形，得出∠DBC=∠BCD=60°，∠ACD=90°，證得AB∥CD，BD∥AF，即可得出結(jié)論；（2）求出AB=4，AC=4 ，設(shè)CG=x，則DG=8﹣x，在Rt△ACG中，AG2=AC2+CG2 ， 代入解方程即可得出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半即可以解答此題．