Question

【題目】在RtΔABC中，∠BAC=90°，點O是△ABC所在平面內一點，連接OA，延長OA到點E，使得AE=OA，連接OC，過點B作BD與OC平行，并使∠DBC=∠OCB，且BD=OC，連接DE.

(1)如圖一，當點O在RtΔABC內部時.

①按題意補全圖形；

②猜想DE與BC的數量關系，并證明.

(2)若AB=AC(如圖二)，且∠OCB=30°，∠OBC=15°，求∠AED的大小.

Answer 1

【答案】(1)①補全圖形，如圖一，見解析；②猜想DE=BC. 證明見解析；(2) ∠AED=30°或15°.

【解析】

（1）①根據要求畫出圖形即可解決問題．

②結論：DE=BC．連接OD交BC于F，連接AF．證明AF為Rt△ABC斜邊中線，為△ODE的中位線，即可解決問題．

（2）分兩種情形：如圖二中，當點O在△ABC內部時，連接OD交BC于F，連接AF，延長CO交AF于M．連接BM．證明△BMA≌△BMO（AAS），推出AM=OM，∠BMO=∠BMA=120°，推出∠AMO=120°，即可解決問題．如圖三中，當點O在△ABC外部時，當點O在△ABC內部時，連接OD交BC于F，連接AF，延長CO交AF于M．連接BM．分別求解即可．

(1)①補全圖形，如圖一，

②猜想DE=BC.

如圖，連接OD交BC于點F，連接AF

在△BDF和△COF中，

∴△BDF≌ΔCOF

∴DF=OF，BF=CF

∴F分別為BC和DO的中點

∵∠BAC=90°，F為BC的中點，

∴AF=BC.

∵OA=AE，F為BC的中點，

∴AF=ED.

∴DE=BC

（2）如圖二中，當點O在△ABC內部時，連接OD交BC于F，連接AF，延長CO交AF于M．連接BM．

由（1）可知：AF為Rt△ABC斜邊中線，為△ODE的中位線，

∵AB=AC，

∴AF垂直平分線段BC，

∴MB=MC，∵∠OCB=30°，∠OBC=15°，

∴∠MBC=∠MCB=30°，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，∠MBO=∠MBA=15°，

∵∠BAM=∠BOM=45°，BM=BM，

∴△BMA≌△BMO（AAS），

∴AM=OM，∠BMO=∠BMA=120°，

∴∠AMO=120°，

∴∠MAO=∠MOA=30°，

∴∠AED=∠MAO=30°．

如圖三中，當點O在△ABC外部時，當點O在△ABC內部時，連接OD交BC于F，連接AF，延長CO交AF于M．連接BM．

由∠BOM=∠BAM=45°，可知A，B，M，O四點共圓，

∴∠MAO=∠MBO=30°-15°=15°，

∵DE∥AM，

∴∠AED=∠MAO=15°，

綜上所述，滿足條件的∠AED的值為15°或30°．