Question

如圖所示，AB是⊙0的直徑，0E⊥AC于E，OF⊥AD于F，OE=OF，且AB是AC與AD的比例中項(xiàng)，試說(shuō)明：BC是⊙0的切線．

Answer 1

分析：根據(jù)角平分線定理得到∠CAB=∠DAB，由于AB²=AC•AD，則

AB

AC

=

AD

AB

，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△ABD∽△ACB，所以∠ADB=∠ABC，再根據(jù)圓周角定理由AB是⊙0的直徑得到∠ADB=90°，則∠ABC=90°，即有BC⊥AB，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論．

解答：證明：連結(jié)BD，如圖，
∵0E⊥AC于E，OF⊥AD于F，OE=OF，
∴∠CAB=∠DAB，
∵AB是AC與AD的比例中項(xiàng)，即AB²=AC•AD，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ADB=∠ABC，
∵AB是⊙0的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙0的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的性質(zhì)為圓的切線．也考查了角平分線定理、圓周角定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．