Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連結MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO．
（1）直接寫出點D的坐標；
（2）已知點B與點D在經過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連結OP．若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OCBA是矩形，
∴AB=OC=3，OA=BC=2，∠B=90°．
∵M是AB的中點，
∴AM=MB=AB=．
∵把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO，
∴DA=MB=，∠DAO=∠B=90°，
∴點D的坐標為（-，2）；

（2）∵OC=3，BC=2，∴B（3，2）．
∵拋物線經過原點，
∴設拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），
又拋物線經過點B（3，2）與點D（-，2），
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為y=x²-x．
∵點P在拋物線上，
∴設點P的坐標為（x，x²-x）．
分兩種情況：
（i）若△PQO∽△DAO，則=，
即=，解得：x₁=0（舍去），x₂=，
∴點P的坐標為（，）；
（ii）若△OQP∽△DAO，則=，
即=，解得：x₁=0（舍去），x₂=，
∴點P的坐標為（，6）．
分析：（1）由矩形的性質，平移的性質以及中點的定義可得DA=MB=AB=，OA=BC=2，∠DAO=∠B=90°，進而求出點D的坐標；
（2）先由拋物線經過原點，可設拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），再將B（3，2）與點D（-，2）代入，運用待定系數法求出拋物線的解析式為y=x²-x，則點P的坐標可設為（x，x²-x）．因為∠OQP=∠OAD=90°，所以當以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似時，Q與A一定對應，然后分兩種情況進行討論：（i）△PQO∽△DAO；（ii）△OQP∽△DAO．根據相似三角形對應邊成比例列出比例式，求解即可．
點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求拋物線的解析式，矩形、平移的性質，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度適中．運用數形結合及分類討論是解題的關鍵．