Question

【題目】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等腰直角三角形中，，將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段，連接，則的面積為__________；（請(qǐng)用含的式子表示的面積；提示：過(guò)點(diǎn)作邊上的高）

（2）類(lèi)比探究：如圖2，在一般的中，，將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段，連接．（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在等腰三角形中，，將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段，連接．試直接用含的式子表示的面積．（不寫(xiě)探究過(guò)程）

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；
(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有.DE=BC=a進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；
(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BF= BC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．

解：（1）如圖1，

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，
∴∠BED=∠ACB=90°，
由旋轉(zhuǎn)知，AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE(AAS)
∴BC=DE=a．
∵S△BCD= BCDE =
故答案為

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，

理由：如圖，

過(guò)點(diǎn)作邊上的高，

在中，∵，

由旋轉(zhuǎn)可知：，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

（3）.

如圖3，

過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，
∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a.
∴∠FAB+∠ABF=90°
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD
∵線(xiàn)段BD是由線(xiàn)段AB旋轉(zhuǎn)得到的，
∴AB=BD
在△AFB和△BED中，
，
∴△AFB≌△BED(AAS)，
∴BF=DE= a.
∵S△BCD= BCDE= aa=．
∴△BCD的面積為．