Question

如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠OAB＝30°．

(1)求∠APB的度數(shù)；

(2)當(dāng)OA＝3時，求AP的長．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)可以在四邊形OAPB中利用“四邊形的內(nèi)角和等于360°”求解，也可以在△ABP中求解，主要是利用切線的性質(zhì)和切線長定理；(2)連接OP或過點O作OD⊥AB，構(gòu)造直角三角形來求解． 　　解：(1)方法一： 　　在△ABO中，因為OA＝OB，∠OAB＝30°，所以∠AOB＝180°－2×30°＝120°． 　　因為PA、PB是⊙O的切線，所以OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP＝∠OBP＝90°． 　　所以在四邊形OAPB中，∠APB＝360°－120°－90°－90°＝60°． 　　方法二：因為PA、PB是⊙O的切線，所以PA＝PB，OA⊥PA． 　　因為∠OAB＝30°，所以∠BAP＝∠OAP－∠OAB＝90°－30°＝60°． 　　所以△ABP是等邊三角形． 　　所以∠APB＝60°． 　　(2)方法一：如圖，連接OP． 　　因為PA、PB是⊙O的切線，所以PO平分∠APB，即∠APO＝∠APB＝30°． 　　在Rt△OAP中，OA＝3，∠APO＝30°，所以AP＝3． 　　方法二：如圖，過點O作OD⊥AB于點D． 　　因為在△OAB中，OA＝OB，所以AD＝AB． 　　在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，所以AD＝OAcos30°＝3×＝． 　　由(1)知，△APB是等邊三角形，所以AP＝AB＝2AD＝3． 　　點評：圓的切線的性質(zhì)不僅表現(xiàn)在圓的切線長定理的兩個結(jié)論上，而且表現(xiàn)在它與等腰三角形、垂徑定理、相似三角形等知識相聯(lián)系而形成的基本圖形所得出的許多重要性質(zhì)．