Question

【題目】二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的圖象是拋物線，定義一種變換，先作這條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線y′，再將得到的對稱拋物線y′向上平移m（m＞0）個(gè)單位，得到新的拋物線ym，我們稱ym叫做二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m階變換．

（1）已知：二次函數(shù)y＝2（x+2）2+1，它的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為　 　，這個(gè)拋物線的2階變換的表達(dá)式為　 　．

（2）若二次函數(shù)M的6階變換的關(guān)系式為y6′＝（x﹣1）2+5．

①二次函數(shù)M的函數(shù)表達(dá)式為　 　．

②若二次函數(shù)M的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，與x軸相交的兩個(gè)交點(diǎn)中左側(cè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，在拋物線y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P與直線AB的距離最短，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）拋物線y＝﹣3x2﹣6x+1的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，該拋物線的m階變換的頂點(diǎn)為點(diǎn)C．若△ABC是以AB為腰的等腰三角形,請直按寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2﹣1；（2）存在，點(diǎn)P（，），（3）8+或8﹣或8或2．

【解析】

（1）原二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（-2，1），則頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（2，-1），即可求解；（2）①6階變換的關(guān)系式對應(yīng)的函數(shù)頂點(diǎn)為：（1，-1），則函數(shù)M的頂點(diǎn)為：（-1，1），即可求解；②DP =PH=（x2-2x+6-x-2）=（x2-3x+4），即可求解；

（3）點(diǎn)A（-1，4）、點(diǎn)B（0，1），拋物線的m階變換的函數(shù)表達(dá)式為：y=3（x-1）2-4+m，故點(diǎn)C（1，m-4），即可求解．

解：（1）原二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（﹣2，1），則頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（2，﹣1），

則這個(gè)拋物線的2階變換的表達(dá)式：y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，

故答案為：（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2﹣1；

（2）①6階變換的關(guān)系式對應(yīng)的函數(shù)頂點(diǎn)為：（1，﹣1），則函數(shù)M的頂點(diǎn)為：（﹣1，1），

則其表達(dá)式為：y＝﹣（x+1）2+1，

故答案為：y＝﹣（x+1）2+1；

②存在，理由：

y＝﹣（x+1）2+1，令y＝0，則x＝﹣2或0，

故點(diǎn)B（﹣2，0），而點(diǎn)A（﹣1，1），

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b得：，解得：，

故直線AB的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x+2，

y6′＝（x﹣1）2+5＝x2﹣2x+6，

如下圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB交于點(diǎn)D，故點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H，

∵直線AB的傾斜角為45°，則DP＝PH，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣2x+6），則點(diǎn)H（x，x+2），

DP＝PH＝（x2﹣2x+6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x+4），

∵＞0，故DP有最小值，此時(shí)x＝，

故點(diǎn)P（，）；

（3）拋物線y＝﹣3x2﹣6x+1的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

則點(diǎn)A（﹣1，4）、點(diǎn)B（0，1），

拋物線的m階變換的函數(shù)表達(dá)式為：y＝3（x﹣1）2﹣4+m，

故點(diǎn)C（1，m﹣4），

則AB2＝10，AC2＝4+（m﹣8）2，BC2＝1+（m﹣5）2，

當(dāng)AB＝AC時(shí)，10＝4+（m﹣8）2，解得：m＝8；

當(dāng)AB＝BC時(shí)，同理可得：m＝8或2，

故m的值為：8+或8﹣或8或2．