解:(1)證明:∵AB=AD,∠BAE=90°-∠EAD=∠DAG,AE=AG
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201311/528503771258e.png)
∴△ABE≌△ADG,即BE=DG.
分別延長GD,BE交于點M交EF于點N,
∵∠CEN+ENM=∠MEN+∠AGD=∠BEA+∠NEM=90°
∴BE⊥GD
(∵△ABE≌△ADG,AB⊥AD,AE⊥AG,∴△ADG可以看成由△ABE繞頂點A旋轉90°,即BE⊥DG.)
(2)證明:①∵AB=AG,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201311/528503771f854.png)
∴∠ABG=∠AGB,∠CBG=∠FGB.
∴∠GBC=∠BGF,
又∵BC=GF,
∴∠BCF=∠GFC,
又∵∠CBG+∠FGB+∠BCF+∠GFC=360°,
∴∠CBG+∠BCF=180°,即BG∥CF;
②續(xù)①又∵AB∥PC,AG∥PF,
∴∠ABG=∠PCF,∠AGB=∠PFC即△ABG∽△PCF;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201311/528503774166b.png)
③續(xù)②連接AP交GF的延長線于Q
1,交BC的延長線于Q
2,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/430472.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/430473.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/430474.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/366386.png)
,而AB=AG,PC=PF
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/430472.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/430474.png)
,亦有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/430475.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/430476.png)
,Q
1P=Q
2P
∴Q
1,Q
2重合,即BC,AP,GF相交于點Q,△ABG與△PCF位似.
(3)連接AC,AF可證得△ABE∽△ACF,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/430477.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23539.png)
.
分析:(1)根據(jù)正方形的性質,即可得AB=AD,∠BAE=90°-∠EAD=∠DAG,AE=AG,由邊角邊判定方法即可證得△ABE≌△ADG,即BE=DG;∵△ABE≌△ADG,AB⊥AD,AE⊥AG,所以△ADG可以看成由△ABE繞頂點A旋轉90°,即BE⊥DG;
(2)根據(jù)等邊對等角即可證得BG∥CF;根據(jù)平行線的性質可的對應角相等,即可證得②△ABG∽△PCF;續(xù)②連接AP交GF的延長線于Q
1,交BC的延長線于Q
2,由位似的性質即可求得;
(3)連接AC,AF可證得△ABE∽△ACF,根據(jù)相似三角形的性質即可求得.
點評:此題考查了相似三角形與全等三角形的性質與判定,解題的關鍵是要注意數(shù)形結合思想的應用.還要注意輔助線的選擇.