Question

已知如圖，拋物線y=x²+bx+c過點A（3，0），B（1，0），交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動（點P不與點A重合），過點P作PD∥y軸交直線AC于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；
（3）△APD能否構(gòu)成直角三角形？若能請直接寫出點P坐標(biāo)，若不能請說明理由；
（4）在拋物線對稱軸上是否存在點M使|MA-MC|最大？若存在請求出點M的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；
（2）求出點C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點P的坐標(biāo)，然后表示出PD的長度，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）①∠APD是直角邊時，點P與點B重合，②求出拋物線頂點坐標(biāo)，然后判斷出點P為在拋物線頂點時，∠PAD是直角，分別寫出點P的坐標(biāo)即可；
（4）根據(jù)拋物線的對稱性可知MA=MB，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點M為直線CB與對稱軸交點時，|MA-MC|最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點A（3，0），B（1，0），
∴

9+3b+c=0 1+b+c=0

，
解得

b=-4 c=3

，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+3；

（2）令x=0，則y=3，
∴點C（0，3），
則直線AC的解析式為y=-x+3，
設(shè)點P（x，x²-4x+3），
∵PD∥y軸，
∴點D（x，-x+3），
∴PD=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)x=

3

2

時，線段PD的長度有最大值

9

4

；

（3）①∠APD是直角邊時，點P與點B重合，
此時，點P（1，0），
②∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，1），
∵A（3，0），
∴點P為在拋物線頂點時，∠PAD=45°+45°=90°，
此時，點P（2，1），
綜上所述，點P（3，0）或（2，1）時，△APD能構(gòu)成直角三角形；

（4）由拋物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB，
∴MA=MB，
由三角形的三邊關(guān)系，|MA-MB|＜BC，
∴當(dāng)M、B、C三點共線時，|MA-MB|最大，為BC的長度，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

k+b=0 b=3

，
解得

k=-3 b=3

，
∴直線BC的解析式為y=-3x+3，
∵拋物線y=x²-4x+3的對稱軸為直線x=2，
∴當(dāng)x=2時，y=-3×2+3=-3，
∴點M（2，-3），
即，拋物線對稱軸上存在點M（2，-3），使|MA-MC|最大．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的對稱性以及頂點坐標(biāo)的求解，（2）整理出PD的表達式是解題的關(guān)鍵，（3）關(guān)鍵在于利用點的坐標(biāo)特征作出判斷，（4）根據(jù)拋物線的對稱性和三角形的三邊關(guān)系判斷出點M的位置是解題的關(guān)鍵．