Question

（1998•湖州）已知如圖，D是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DC切⊙O于C，過(guò)D作ED⊥AD與AC的延長(zhǎng)線相交于E．
（1）求證：CD=DE；
（2）若tan∠BAC=，求的值；
（3）設(shè)AB=2R，當(dāng)BC=CE時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求CD=DE，需先求出∠DCE=∠E；由弦切角定理知∠DCB=∠A；可發(fā)現(xiàn)：∠DCE和∠E是上面證得的兩個(gè)等角的余角，故∠DCE=∠E，由此得證．
（2）設(shè)出BC=x，ED=y；根據(jù)tan∠BAC=，得出AD=3x，AC=3y，根據(jù)勾股定理和切割線定理即可求出x和y之間的關(guān)系．
（3）連接OC，由（1）得出的∠BCD=∠A，易知：∠OBC=∠CDE，因此等腰△OBC和等腰△DCE相似；由于題中告訴了BC=CE，可得到的條件是△OBC≌△DCE；因此OC=CD=R；在等腰Rt△OCD中，已知了直角邊的長(zhǎng)，即可求出斜邊OD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BD的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵△ADE是直角三角形，
∴∠E=90°-∠A；
又∵∠BCD=∠A，∠BCE=90°，
∴∠DCE=90°-∠A，
∴∠E=∠DCE，即CD=DE．

（2）解：設(shè)BC=y，ED=x；根據(jù)tan∠BAC=，得出AD=3x，AC=3y；
Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得：AB==y；
又因?yàn)镃D=DE，所以根據(jù)切割線定理，x²=BD•3x，BD=，AB=3x-=x；
所以y=x，=．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232825167631870/SYS201310212328251676318029_DA/11.png">==-1=×-1=．

（3）解：連接OC；
由（1）知：∠BCD=∠A，∠ACB=∠BCE=90°；
∴∠OBC=∠BCE；
∵OB=OC，CD=DE；
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠E；
又∵BC=CE；
∴△OBC≌△DCE（ASA）；
∴OC=CD=R；
Rt△OCD中，OC=CD=R，∠OCD=90°；
∴OD=R，即BD=OD-OB=（-1）R．
點(diǎn)評(píng)：此題巧妙利用了勾股定理、切割線弦定及三角函數(shù)值，將各個(gè)量結(jié)合起來(lái)，找到它們之間的關(guān)系，尤其是（2），借助參數(shù)求代數(shù)式的比，應(yīng)用了設(shè)而不求的方法．