Question

（2012•寶坻區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（0，2），點D在x軸的正半軸上，∠ODB=30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點的拋物線與x軸相交于A、F兩點（A在F的左側）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）等邊△OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；
（3）點P為△ABO內的一個動點，設m=PA+PB+PO，請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時，線段AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知點B的坐標，可求出OB的長；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通過解直角三角形即可求得OD的長，也就得到了點D的坐標；由于E是線段BD的中點，根據B、D的坐標即可得到E點的坐標；將B、E的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值，由此確定拋物線的解析式；
（2）過E作EG⊥x軸于G，根據A、E的坐標，即可用勾股定理求得AE的長；
過O作AE的垂線，設垂足為K，易證得△AOK∽△AEG，通過相似三角形所得比例線段即可求得OK的長；在Rt△OMK中，通過解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的長可在Rt△AEK中由勾股定理求得，根據AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長；
（3）由于點P到△ABO三頂點的距離和最短，那么點P是△ABO的費馬點，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易證得△OBE是等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應為AE的長；求AP的長時，可作△OBE的外切圓（設此圓為⊙Q），那么⊙Q與AE的交點即為m取最小值時P點的位置；設⊙Q與x軸的另一交點（O點除外）為H，易求得點Q的坐標，即可得到點H的坐標，也就得到了AH的長，相對于⊙Q來說，AE、AH都是⊙Q的割線，根據割線定理即可求得AP的長．
解答：解：（1）過E作EG⊥OD于G（1分）
∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵點B（0，2），∠ODB=30°，
可得OB=2，；
∵E為BD中點，
∴
∴EG=1，
∴
∴點E的坐標為（2分）
∵拋物線經過B（0，2）、兩點，
∴，
可得；
∴拋物線的解析式為；（3分）

（2）∵拋物線與x軸相交于A、F，A在F的左側，
∴A點的坐標為
∴，
∴在△AGE中，∠AGE=90°，（4分）
過點O作OK⊥AE于K，
可得△AOK∽△AEG
∴
∴
∴
∴
∵△OMN是等邊三角形，
∴∠NMO=60°
∴；
∴，或；（6分）
（寫出一個給1分）

（3）如圖；
以AB為邊做等邊三角形AO′B，以OA為邊做等邊三角形AOB′；
易證OE=OB=2，∠OBE=60°，則△OBE是等邊三角形；
連接OO′、BB′、AE，它們的交點即為m最小時，P點的位置（即費馬點）；
∵OA=OB^′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
∴∠POP'=60°，
∴△POP′為等邊三角形，
∴OP=PP′，
∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m_最小=AE=；
如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，
根據費馬點的性質知∠BPO=120°，則∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
即B、P、O、E四點共圓；
易求得Q（，1），則H（，0）；
∴AH=；
由割線定理得：AP•AE=OA•AH，
即：AP=OA•AH÷AE=×÷=．
故：m可以取到的最小值為
當m取得最小值時，線段AP的長為．
（如遇不同解法，請老師根據評分標準酌情給分）
點評：此題是二次函數的綜合類試題，涉及到二次函數解析式的確定、等邊三角形的性質、解直角三角形以及費馬點位置的確定和性質，能力要求極高，難度很大．