Question

【題目】如圖，直線y=ax+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與雙曲線y= （x＞0）相交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC=2，點A的坐標為（﹣2，0）．

（1）求雙曲線的解析式；
（2）若點Q為雙曲線上點P右側的一點，且QH⊥x軸于H，當以點Q、C、H為頂點的三角形與△AOB相似時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣2，0）代入y=ax+1中，求得a= ，

∴y= x+1，

由PC=2，把y=2代入y= x+1中，得x=2，即P（2，2），

把P代入y= 得：k=4，

則雙曲線解析式為y= ；

（2）

解：設Q（a，b），

∵Q（a，b）在y= 上，

∴b= ，

當△QCH∽△BAO時，可得 = ，即 = ，

∴a﹣2=2b，即a﹣2= ，

解得：a=4或a=﹣2（舍去），

∴Q（4，1）；

當△QCH∽△ABO時，可得 = ，即 = ，

整理得：2a﹣4= ，

解得：a=1+ 或a=1﹣ （舍），

∴Q（1+ ，2 ﹣2）．

綜上，Q（4，1）或Q（1+ ，2 ﹣2）．

【解析】（1）把A坐標代入直線解析式求出a的值，確定出直線解析式，把y=2代入直線解析式求出x的值，確定出P坐標，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出雙曲線解析式；（2）設Q（a，b），代入反比例解析式得到b= ，分兩種情況考慮：當△QCH∽△BAO時；當△QCH∽△ABO時，由相似得比例求出a的值，進而確定出b的值，即可得出Q坐標．