Question

如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB于點F，OF=3，CD=8，M是OC的中點，AM的延長線交⊙O于點E，DE與BC交于點N，
（1）求AB的長；
（2）求證：BN=CN．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據垂徑定理求出CF的長，在Rt△OCF根據勾股定理可求出OC的長，故可得出AB的長；
（2）連結AC，BD，根據弦CD垂直于直徑AB可知BC=BD．∠BCD=∠BDC，再由OA=OC可知∠OCA=∠OAC，由相似三角形的判定定理可知△BCD∽△OCA，所以=，同理可得△CDN∽△CAM，所以=，==，故可得出結論．
解答：解：（1）∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD，CD=8
∴CF=4                           
在Rt△OCF中，根據勾股定理，得
OC²=OF²+CF²
=3²+4²
=25
∴OC=5                            
∴AB=2OC=2×5=10；
                     
（2）連結AC，BD
∵CD⊥AB，
∴BC=BD．
∴∠BCD=∠BDC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC，
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA，
∴=，
在△CDN和△CAM中，
∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，
∴△CDN∽△CAM
∴=，
∴==，
∴CN=CB，即BN=CN．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到相似三角形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理及圓周角定理等知識，難度適中．