Question

已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．

（1）如圖1，當(dāng)b=2a，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明∠BMC=90°；

（2）如圖2，當(dāng)b＞2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請(qǐng)給與證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)b＜2a時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；根的判別式；矩形的性質(zhì)。

解答：（1）證明：∵b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）解：存在，

理由：若∠BMC=90°，

則∠AMB=∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴=，

設(shè)AM=x，則=，

整理得：x²﹣bx+a²=0，

∵b＞2a，a＞0，b＞0，

∴△=b²﹣4a²＞0，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，

∴當(dāng)b＞2a時(shí)，存在∠BMC=90°，

（3）解：不成立．

理由：若∠BMC=90°，

由（2）可知x²﹣bx+a²=0，

∵b＜2a，a＞0，b＞0，

∴△=b²﹣4a²＜0，

∴方程沒有實(shí)數(shù)根，

∴當(dāng)b＜2a時(shí)，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結(jié)論不成立．