求證：等腰梯形的四個頂點在同一個圓上．

已知：四邊形ABCD是等腰梯形，AB＝CD，AD∥BC．

求證：A、B、C、D在同一個圓上．

答案：
解析：

　　解：如下圖作AB的垂直平分線l1，作BC的垂直平分線l2，

　　∵AB與BC相交，

　　∴l1與l2必相交，設(shè)交點O，∵O在l1上，∴OA＝OB．

　　又O在l2上，∴OB＝OC．

　　∵等腰梯形是軸對稱圖形，l2為BC的垂直平分線，

　　∴l2為等腰梯形ABCD的對稱軸，∴OA＝OD，

　　∴OA＝OB＝OC＝OD，

　　∴A、B、C、D在以O(shè)為圓心的圓上．

　　思路點撥：要證明A、B、C、D在同一個圓上，根據(jù)圓的定義只要找到O點，使得A、B、C、D到O點的距離相等．我們由前面的知識可知，到A、B距離相等的點在AB的垂直平分線上，因此，只需作出AB與BC的垂直平分線即可．

　　評注：本題的關(guān)鍵是找出O點，然后根據(jù)以前學(xué)過的知識證明OA＝OB＝OC＝OD，除了分別作出AB與BC的中垂線之外，也可分別作出AB與CD的中垂線，它們也相交于O點，并且證明OA＝OB＝OC＝OD時，上述證明方法中用了軸對稱圖形的性質(zhì)，也可以利用全等三角形的方法證明．

　　小結(jié)：證明幾個點共圓的方法．

　　(1)要證明幾個點在同一個圓上，可以根據(jù)定義，證明這幾個點與一個定點距離相等．

　　注意：這個定點可能是已知的，也可能是未知的，可以通過作中垂線等方法找到它．

　　(2)證明五點共圓是先證三個點確定一個圓，然后再證第4個點和第5個點均在這個圓上．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與精英家教網(wǎng)∠EPF的兩邊相交于A、B和C、D，連接OA，此時有OA∥PE．
（1）求證：AP=AO；
（2）若tan∠OPB=
12
，求弦AB的長；
（3）若以圖中已標(biāo)明的點（即P、A、B、C、D、O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為
 
，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為
 
或
 
或
 
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•樊城區(qū)模擬）如圖，O為∠EPF內(nèi)射線PG上一點，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A，B和C，D且AB=CD，連接OA，此時有OA∥PE．
（1）求證：AP=AO；
（2）若弦AB=12，求四邊形PAOC的面積；
（3）若以圖中已標(biāo)明的點（即P，A，B，C，D，O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成等腰梯形的四個點為
P、C、O、B或P、A、O、D或A、B、D、C．
P、C、O、B或P、A、O、D或A、B、D、C．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本題8分)如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點，以O為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF 的兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時有OA//PE．

（1）求證：AP=AO；

（2）若tan∠OPB=，求弦AB的長；

 

（3）若以圖中已標(biāo)明的點（即P、A、B、C、D、O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為  ▲  ，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為  ▲  或  ▲  或  ▲  .

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011年初中畢業(yè)升學(xué)考試（山東煙臺卷）數(shù)學(xué) 題型：解答題

（2011•金華）如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF的兩邊相交于A、B和C、D，連接OA，此時有OA∥PE．
（1）求證：AP=AO；
（2）若tan∠OPB=，求弦AB的長；
（3）若以圖中已標(biāo)明的點（即P、A、B、C、D、O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為_________，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為__________或__________或___________

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