Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB＝2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45°，求：

（1）BD的長；

（2）陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】

（1）連接AD，由于AC是⊙O的切線，所以AB⊥AC，再根據∠C=45°可知AB=AC=2，由勾股定理可求出BC的長，由于AB是⊙O的直徑，所以∠ADB=90°，故D是BC的中點，故可求出BD的長度；

（2）連接OD，因為O是AB的中點，D是BC的中點，所以OD是△ABC的中位線，所以OD⊥AB，故弧BD＝弧AD，所以弧BD與弦BD組成的弓形的面積等于弧AD與弦AD組成的弓形的面積，所以S陰影=S△ABC-S△ABD，故可得出結理論．

解：（1）連接AD，

∵AC是⊙O的切線，

∴AB⊥AC，

∵∠C＝45°，

∴AB＝AC＝2，

∴BC＝＝＝2，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴D是BC的中點，

∴BD＝BC＝；

（2）連接OD，

∵O是AB的中點，D是BC的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD＝1，

∴OD⊥AB，

∴弧BD＝弧AD，

∴弧BD與弦BD組成的弓形的面積等于弧AD與弦AD組成的弓形的面積，

∴S陰影＝S△ABC﹣S△ABD＝ABAC﹣ABOD＝×2×2﹣×2×1＝2﹣1＝1．