Question

如圖：已知在正方形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且∠ADE＝∠FDE。

(1)求證：DF＝AB＋FB；

(2)以E為圓心EB為半徑作⊙E，試判斷⊙E與直線(xiàn)DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)在⑵的條件下，若CD=4cm，點(diǎn)M在線(xiàn)段DF上從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，速度為0.5cm/s，以M為圓心，MD為半徑作⊙M。當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，⊙M與⊙E相切？

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析；（2）相切，理由見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：(1)過(guò)E點(diǎn)作EP⊥DF，垂足為P，連接EF，易證△DAE≌△DPE，△EPF≌△EBF,即有：AD=AP，BF=PF，而AB=AD，從而得證；

（2）由EB=EP知⊙E與直線(xiàn)DF相切；

（3）設(shè)t秒后兩圓相切，利用勾股定理得出方程，解方程即可求解.

試題解析：（1）過(guò)E點(diǎn)作EP⊥DF，垂足為P，連接EF，

在△DAE和△DPE中

∵∠ADE＝∠FDE

DE=DE

∠DAE＝∠DPE

∴△DAE≌△DPE，

∴DP=DA,AE=EP

又DA=AB

∴DP=AB

∵E為AB的中點(diǎn)

∴BE=AE=EP

在Rt△EPF和Rt△EBF中

BE=PE

EF=EF

∴Rt△EPF≌Rt△EBF

∴BF=PF

∴DF=DP+PF=AB+BF

(2)由（1）知：EP=EB

故⊙E與直線(xiàn)DF相切.

(3)設(shè)t秒后⊙M與⊙E相切，則有：

（4-0.5t）2+22=（2+0.5t）2

解得：t=.

考點(diǎn): 1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.勾股定理；3.圓和圓的位置關(guān)系.