Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點(diǎn)A的雙曲線y=的一支在第一象限交梯形對角線OC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E．
（1）填空：雙曲線的另一支在第______象限，k的取值范圍是______；
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時，陰影部分的面積S最小？
（3）若=，S_△OAC=2，求雙曲線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)得到：雙曲線y=的一支在第一象限，則k＞0，得到另一支在第三象限；
（2）根據(jù)梯形的性質(zhì)，AC∥x軸，BC⊥x軸，而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），再分別把y=2或x=2代入y=可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，），然后計算S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE=×（2-）×（2-）+×2×=k²-k+2，配方得（k-2）²+，當(dāng)k=2時，S_陰影部分最小值為，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)；
（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），由=，則OD=DC，即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn)，于是C點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，），得到A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，把y=代入y=得x=，確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），根據(jù)三角形面積公式由S_△OAC=2得到×（2a-）×=2，然后解方程即可求出k的值．
解答：解：（1）三，k＞0；
（2）∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，
而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
把y=2代入y=得x=；把x=2代入y=得y=，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，），
∴S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE
=×（2-）×（2-）+×2×
=k²-k+2
=（k-2）²+，
當(dāng)k-2=0，即k=2時，S_陰影部分最小，最小值為；
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時，陰影部分的面積S最��；
（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），
∵=，
∴OD=DC，即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，），
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
把y=代入y=得x=，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∵S_△OAC=2，
∴×（2a-）×=2，
∴k=，
∴雙曲線的解析式為y=．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：當(dāng)k＞0時，反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象分布在第一、三象限；點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式；運(yùn)用梯形的性質(zhì)得到平行線段，從而找到點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．