Question

如圖，在?ABCD中，點E在AD上，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在?ABCD內(nèi)部，將BG延長交DC于點F，EF平分∠DEG．
（1）求證：GF=DF；
（2）若BC=DC=4DF，四邊形BEFC的周長為，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴∠A=∠BGE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠BGE+∠EGF=180°
∴∠D=∠EGF，
∵EF平分∠DEG，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵EF=EF，
在△EGF和△EDF中，
，
∴△EGF≌△EDF，
∴GF=DF；

（2）解：在□ABCD中，BC=DC，設(shè)DF=x，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=DC=AD=4DF=4x．
∵△ABE≌△BGE，△EGF≌△EDF，
∴BG=AB=4x，GF=DF=x，BF=5x，AE=EG=ED=2x，
又∵FC=DC-DF=3x，
∴BC²+CF²=BF²，
∴△BCF為直角三角形，∠C=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
在Rt△ABE中，，
在Rt△DEF中，，
∴四邊形BEFC的周長=BE+EF+FC+CB==，
∴x=2，BC=4．
分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠A=∠BGE，由平行四邊形的性質(zhì)可知∠A+∠D=180°，再利用已知條件證明△EGF≌△EDF，由全等三角形的性質(zhì)可得：GF=DF；
（2）若BC=DC，可證明四邊形ABCD是菱形，設(shè)DF=x，再進一步證明四邊形ABCD是正方形，由于在Rt△ABE中，，在Rt△DEF中，，四邊形BEFC的周長=BE+EF+FC+CB==，求出x的值即可．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運用以及其逆定理的運用，題目的綜合性很強，難度中等．