Question

【題目】已知點A（-2，1），B（0，4），C（8，16），O（0，0），P（m，n），拋物線y=ax2（a≠0）經過A，B，C，其中的一點，

（1）求拋物線y=ax2（a≠0）的解析式；

（2）若直線y=mx（m≠0）與直線y=nx（n≠0）分別經過點A與點C，判斷點P（m，n）是否在反比例函數y=-的圖象上；

（3）若點P（m，n）是反比例函數y=-的圖象上任一點，且直線y=mx（m≠0）與直線y=nx（n≠0）分別與拋物線y=ax2（a≠0）交于點M，點N（不同于原點），求證：M，B，N三點在一條直線上．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）點P在反比例函數y=-的圖象上；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據拋物線y=ax2的頂點坐標為（0,0），可判斷圖象不過點B，分別將點A的坐標或點C的坐標代入解析式中即可求出拋物線的解析式；

（2）將點A的坐標代入y=mx中即可求出m的值，將點C的坐標代入y=nx即可求出n的值，從而判斷結論；

（3）分別聯立方程求出點M和點N的坐標，利用待定系數法求出直線MN的解析式，然后判斷點B的坐標是否滿足該解析式即可得出結論．

解：（1）∵拋物線y=ax2的頂點坐標為（0,0）

∴拋物線一定不過點B

把A（-2，1）代入y=ax2，得a=，

把C（8，16）代入y=ax2，得a=，

故該拋物線解析式為：y=x2．

（2）∵直線y=mx（m≠0）與直線y=nx（n≠0）分別經過點A（-2，1）與點C（8，16），

∴1=-2m，16=8n．

∴m=-，n=2．

∴點P的坐標是（-，2）．

把x=-代入y=-，得y=2．

∴點P在反比例函數y=-的圖象上．

（3）證明：∵點M，點N分別是直線y=mx（m≠0）與直線y=nx（n≠0）分別與拋物線y=ax2（a≠0）的交點，

∴可列方程組：，

解得．

∴點M的坐標是（4m，4m2）．

同理，，

解得．

∴點N的坐標是（4n，4n2）．

設經過點M、N的直線為：y=kx+b（k≠0）．

把M（4m，4m2），N（4n，4n2）分別代入，得．

解得．

∵點P（m，n）在反比例函數y=-的圖象上，

∴mn=-1．即b=-mn=-4×（-1）=4．

∴y=（m+n）x+4．

把x=0代入，得y=4，即點B（0，4）在直線MN上．

∴點M，B，N三點在一條直線上．