16.如圖1,△ABC是邊長(zhǎng)為8cm的等邊三角形,點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)沿B→A方向在線段BA上以acm/s的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)沿C→B方向在線段CB上以bcm/s的速度運(yùn)動(dòng),D,E兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)A后,D,E兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).
(1)如圖2,若a=b=1,連接AE,CD,相交于點(diǎn)F,連BF
①求∠AFC的度數(shù);
②當(dāng)AF=2CF時(shí),求t的值
(2)如圖3,若a=2,b=1,連接DE,以DE為邊作等邊△DEM,使M,B在DE的兩側(cè),點(diǎn)O為AC的中點(diǎn),連接OM,求OM的最小值.

分析 (1)①如圖1,由題可得BD=CE=t,易證△BDC≌△CEA,則有∠BCD=∠CAE,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠EFC=60°,即可得到∠AFC=120°;
②延長(zhǎng)FD到G,使得FG=FA,連接GA、GB,根據(jù)△FAG是等邊三角形,△ABC是等邊三角形,即可判定△AGB≌△AFC,從而得出∠BGF=∠EFC=60°,得到EF∥GB,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得$\frac{CF}{FG}$=$\frac{CE}{EB}$,再根據(jù)AF=2CF,CE=t,BC=8,得出GF=2CF,BE=8-t,進(jìn)而得到$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{8-t}$,解得t=$\frac{8}{3}$即可;
(2)連接AM,過(guò)D作DH⊥BC于H,根據(jù)SAS判定△ADM≌△HED,進(jìn)而得出∠DAM=∠EHD=90°,而∠DAO=60°,可得∠OAM=90°-60°=30°,因此當(dāng)OM⊥AM時(shí),OM最短,此時(shí),OM=$\frac{1}{2}$AO,故OM的最小值為2.

解答 解:(1)①如圖1,當(dāng)a=b=1時(shí),BD=CE=t,
∵△ABC是邊長(zhǎng)為8cm的等邊三角形,
∴CB=AC,∠CBD=∠ACE=60°,
在△BDC和△CEA中,
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠CBD=∠ACE}\\{CB=AC}\end{array}\right.$,
∴△BDC≌△CEA(SAS),
∴∠BCD=∠CAE,
∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°,
∴∠AFC=120°;

②如圖2,延長(zhǎng)FD到G,使得FG=FA,連接GA、GB,
∵∠AFG=∠EFC=60°,F(xiàn)G=FA,
∴△FAG是等邊三角形,
∴AG=AF=FG,∠AGF=∠GAF=60°.
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠GAF=∠BAC=60°,
∴∠GAB=∠FAC.
在△AGB和△AFC中,
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAB=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$,
∴△AGB≌△AFC(SAS),
∴∠AGB=∠AFC=120°,
∴∠BGF=60°,
∴∠BGF=∠EFC=60°,
∴EF∥GB,
∴$\frac{CF}{FG}$=$\frac{CE}{EB}$,
又∵AF=2CF,CE=t,BC=8,
∴GF=2CF,BE=8-t,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{8-t}$,
解得t=$\frac{8}{3}$,
∴當(dāng)AF=2CF時(shí),t的值為$\frac{8}{3}$;

(2)如圖3,連接AM,過(guò)D作DH⊥BC于H,
∵當(dāng)a=2,b=1時(shí),BD=2t,CE=t,而∠B=60°,AB=8,
∴BH=t,AD=8-2t,HE=8-t-t=8-2t,
∴DA=EH,
∵△DEM是等邊三角形,
∴DE=MD,∠EDM=60°,
∴∠ADM+∠BDE=∠HED+∠BDE=120°,
∴∠ADM=∠HED,
在△ADM和△HED中,
$\left\{\begin{array}{l}{DA=EH}\\{∠ADM=∠HED}\\{MD=DE}\end{array}\right.$,
∴△ADM≌△HED(SAS),
∴∠DAM=∠EHD=90°,而∠DAO=60°,
∴∠OAM=90°-60°=30°,
∴當(dāng)OM⊥AM時(shí),OM最短,
∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn),
∴AO=4,
此時(shí),OM=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×4=2.
故OM的最小值為2.

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題,主要考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行線分線段成比例定理以及含30°角 的直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及全等三角形,依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算.解題時(shí)注意:在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

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