Question

求證：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定值．

Answer 1

答案：略
解析：

已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，P為BC上任意一點(diǎn)，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E．求證：PD＋PE是定值． 證法1：如圖所示， 連接AP，過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F． ∵，，． 又∵， ∴． ∵AB=AC，∴PD＋PE=BF，即PD＋PE為定值． 證法2：如圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，過點(diǎn)P作PG⊥BF，垂足為G． ∵BF⊥AC，PE⊥AC，PG⊥BF， ∴∠FGP=∠GFE=∠PEF=90°， ∴四邊形PEFG是矩形． ∴PE=GF，PG∥EF． ∴∠GPB=∠C． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∴∠GPB=∠ABC． ∵PD⊥AB，PG⊥BF， ∴∠PDB=∠PGB=90°． 在△BDP和△PGB中， ∴△BDP≌△PGB， ∴GB=PD， ∴PD＋PE=BF． 證法3：如圖所示，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，過點(diǎn)C作GC⊥PD，交DP的延長線于G． ∵GC⊥DP，PD⊥AB，CF⊥AB， ∴∠G=∠CFD=∠GDF=90°． ∴四邊形CGDF是矩形， ∴CG∥AB，GD=CF， ∴∠PCG=∠B． ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠PCG=∠ACB． ∵PE⊥AC， ∴∠PEC=90°． ∴∠PEC=∠G． 在△PEC和△PGC中， ∴△PEC≌△PGC， ∴PE=PG． ∴PD＋PE=PG＋PD=CF，即PD＋PE為定值．

提示：

這種題首先要探求出這個定值，由于P是底邊BC上一個動點(diǎn)，那么它的極端位置當(dāng)然是在端點(diǎn)上了，不妨設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)，此時PD=0，PE為腰AC上的高(高是不變量)，那么只需證明PD＋PE等于一腰上的高就可以了．