Question

【題目】已知，，D為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，E為直線(xiàn)AC上一點(diǎn)，，設(shè)，．

（1）如圖1，若點(diǎn)D在線(xiàn)段C上，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，，，則______；________．

（2）如圖2，若點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，則，之間有什么關(guān)系式？它說(shuō)明理由．

（3）是否存在不同于（2）中的，之間的關(guān)系式？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式（寫(xiě)出一種即可），說(shuō)明理由：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）20，10；（2）α=2β，理由見(jiàn)解析；（3）α=2β-180°或α=180°-2β，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠DAE，進(jìn)而求出∠BAD，利用外角的性質(zhì)求出∠ADC，進(jìn)而可求出β的值；

（2）設(shè)∠ABC=x，∠AED=y，由三角形外角的性質(zhì)可得y=β+x，α+x=y+β，整理可得，之間的關(guān)系；

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，設(shè)∠ABC=x，∠ADE=y，由三角形外角的性質(zhì)得x+α=β-y，由三角形內(nèi)角和得x+y+β=180°，整理即可得出結(jié)論；

②當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，同①的方法即可得出結(jié)論．

解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴∠BAC=60°，

∵AD=AE，∠ADE=70°，

∴∠DAE=180°-2∠ADE=40°，

∴α=∠BAD=60°-40°=20°，

∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，

∴β=∠CDE=∠ADC-∠ADE=10°，

故答案為：20，10；

（2）α=2β，

設(shè)∠ABC=x，∠AED=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△DEC中，y=β+x，

在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，

∴α=2β；

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，

如圖1

設(shè)∠ABC=x，∠ADE=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△ABD中，x+α=β-y，

在△DEC中，x+y+β=180°，

∴α=2β-180°，

②當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

如圖2，

設(shè)∠ABC=x，∠ADE=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△ABD中，x=α+β-y，

在△DEC中，x+y+β=180°，

∴α=180°-2β．

綜上可知，不同于（2）的結(jié)論有：α=2β-180°或α=180°-2β．