Question

已知：直角梯形ABCO以O(shè)為原點，OC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立坐標系，其中AB=10，OA=40，∠OCB=45°．
（1）求過O、B、C三點的拋物線解析式；
（2）在拋物線BC段上存在一點D，使得△ACD面積最大？若存在，請求出D點坐標，并求最大面積；
（3）動點F從A向B運動速度為1，E從C到O點運動速度為3，幾秒后使得EF平分梯形ABCO的面積，并求出直線EF的解析式．

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)已知條件求出B、C的坐標，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）求三角形ACD的面積，無法直接利用D、A、C的坐標來求，那么可過D作DD′⊥x軸交AC的延長線于D′，那么三角形ADC的面積=三角形ADD′的面積-三角形DCD′的面積．可先根據(jù)A、C的坐標求出AC所在直線的解析式，然后根據(jù)拋物線和一次函數(shù)的解析式分別設(shè)出D、D′的坐標，然后用x表示出DD′的長，而這兩個三角形的高的差正好就是OC的長，由此可得出關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)來求出S的最大面積以及對應(yīng)的x的值，然后將x代入拋物線中求出D點的坐標．
（3）可先設(shè)出時間為t，那么此時可先求出梯形OABC的面積，然后用時間t表示出梯形OEFB的面積，根據(jù)梯形OEFB的面積是梯形OABC面積的一半可得出關(guān)于t的方程，進而可求出t的值，也就得出了E、F的坐標，然后用待定系數(shù)法即可求出E、F所在的直線的解析式．

解答：解：（1）過B作BB′⊥x軸于B′
∴B（10，40）
在Rt△BB’C中
tan45°=

BB′

B′C

即BB'=B'C=40
∴C（50，0）設(shè)y=ax²+bx+c
∴

0=2500a+50b+c 40=100a+10b+c 0=c

解得

a=- 1 10 b=5 c=0

∴y=-

1

10

x²+5x

（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b

0=50k+b 40=b

∴

k=- 4 5 b=40

y=-

4

5

x+40
過D作DD'∥y軸交直線于D'點
設(shè)D（x，-

1

10

x²+5x）則D'（x，-

4

5

x+40）
則S_△ACD=

(- 1 10 x2+5x+ 4 5 x-40)×50

2

=-

5

2

x²+145x-1000
∵a=-

5

2

＜0
∴S_△ACD有最大值
∴當(dāng)x=

145

2×(- 5 2 )

=29時S_△ACD最大=1102.5
當(dāng)x=29
時，-

1

10

x²+5x=60.9
∴此時D（29，60.9）

（3）設(shè)時間為t，0≤t≤10
依題意得：
F（t，40）EM（50-30t，0），

(AN+OM)•OA

2

=

1

2

×

(AB+OC)•OA

2

即：

(t+50-30t)×40

2

=

1

2

×

(10+50)×40

2

50-2t=30
t=10
即：F（10，40）E（20，0）時，MN把梯形面積平分．
設(shè)EF解析式為y=k₁x+b₁則有：

10k1+b1=40 20k1+b1=0

解得：

k1=-2 b1=60

∴直線EF解析式為y=-2x+60．

點評：本題結(jié)合梯形的知識考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用．用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解是本題的基本思路．