Question

（2013•河池）請?jiān)趫D中補(bǔ)全坐標(biāo)系及缺失的部分，并在橫線上寫恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容．圖中各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A（1，0），B（6，0），C（1，3），D（6，2）．線段AB上有一點(diǎn)M，使△ACM∽△BDM，且相似比不等于1．求出點(diǎn)M的坐標(biāo)并證明你的結(jié)論．
解：M（

4

，

0

）
證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB
∴∠CAM=∠DBM=

90

度．
∵CA=AM=3，DB=BM=2
∴∠ACM=∠AMC（

等邊對等角

），∠BDM=∠BMD（同理），
∴∠ACM=

1

2

（180°-

90°

）=45°．∠BDM=45°（同理）．
∴∠ACM=∠BDM
在△ACM與△BDM中，

∠CAM=∠DBM _(______)_

∴△ACM∽△BDM（如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似）

Answer 1

分析：根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A（1，0），B（6，0），C（1，3），D（6，2）．可以補(bǔ)全坐標(biāo)系及缺失的部分，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得M（ 4，0），通過AA可證△ACM∽△BDM．

解答：解：如圖所示：

當(dāng)△ACM∽△BDM時，

AM

5-AM

=

3

2

，解得AM=3，則M（ 4，0）．
理由如下：
∵CA⊥AB，DB⊥AB
∴∠CAM=∠DBM=90度．
∵CA=AM=3，DB=BM=2
∴∠ACM=∠AMC（ 等邊對等角），∠BDM=∠BMD（同理），
∴∠ACM=

1

2

（180°-90°）=45°．∠BDM=45°（同理）．
∴∠ACM=∠BDM
在△ACM與△BDM中，

∠CAM=∠DBM ∠ACM=∠BDM

，
∴△ACM∽△BDM（如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似）

點(diǎn)評：考查了平面直角坐標(biāo)系的知識，相似三角形的判定和性質(zhì)，本題難點(diǎn)是確定點(diǎn)M的坐標(biāo)．