Question

【題目】點D是等邊三角形ABC外一點，且DB＝DC，∠BDC＝120°，將一個三角尺60°角的頂點放在點D上，三角尺的兩邊DP，DQ分別與射線AB，CA相交于E，F兩點．

(1)當EF∥BC時，如圖①所示，求證：EF＝BE＋CF.

(2)當三角尺繞點D旋轉到如圖②所示的位置時，線段EF，BE，CF之間的上述數量關系是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，寫出EF，BE，CF之間的數量關系，并說明理由．

(3)當三角尺繞點D繼續(xù)旋轉到如圖③所示的位置時，(1)中的結論是否發(fā)生變化？如果不變化，直接寫出結論；如果變化，請直接寫出EF，BE，CF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論仍然成立．理由見解析；（3）結論發(fā)生變化．EF＝CF－BE.

【解析】

（1）根據△ABC是等邊三角形知道AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，而DB=DC，∠BDC=120°，這樣可以得到△DCF和△BED是直角三角形，由于EF∥BC，可以證明△AEF是等邊三角形，也可以證明△BDE≌△CDF，可以得到DE=DF，由此進一步得到
DE=DF∠BDE=∠CDF=30°，這樣可以得到BE=DE=DF=CF，而△DEF是等邊三角形，所以題目的結論就可以證明出來了；（2）結論仍然成立．如圖，在AB的延長線上取點F’，使BF’=CF，連接DF’，根據（1）的結論可以證明△DCF≌△DBF’，根據全等三角形的性質可以得到DF=DF’，∠BDF’=∠CDF，又∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得到：∠EDF’=∠CDF=60°，由此可以證明△EDF’≌△EDF，從而證明題目的結論；（3）結論發(fā)生變化． EF=BE-CF．如圖，在射線AB上取點F′，使BF′＝CF，連接DF′.由(1)得△DCF≌△DBF′(SAS)．根據全等三角形的性質可以得到DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF.又因為∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，可以得到∠FDB＋∠CDF＝60°，∠FDB＋∠BDF′＝∠FDF′＝120°，所以∠EDF′＝∠EDF=60°，由此可得△EDF′≌△EDF(SAS)，從而證明題目的結論EF＝EF′＝BF′- BE＝CF- BE。

(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°.

∵DB＝DC，∠BDC＝120°，

∴∠DBC＝∠DCB＝30°.

∴∠DBE＝∠DBC＋∠ABC＝90°，

∠DCF＝∠DCB＋∠ACB＝90°.

∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，

∠AFE＝∠ACB＝60°.∴AE＝AF.

∴BE＝AB－AE＝AC－AF＝CF.

又∵DB＝DC，∠DBE＝∠DCF＝90°，

∴△BDE≌△CDF.

∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF＝（120°-60°）=30°.

∴BE＝DE＝DF＝CF.

∵∠EDF＝60°，∴△DEF是等邊三角形，

即DE＝DF＝EF.

∴BE＋CF＝DE＋DF＝EF，

即EF＝BE＋CF.

(2)解：結論仍然成立．

理由如下：如圖，在射線AB上取點F′，

使BF′＝CF，連接DF′.

由(1)得∠DBE＝∠DCF＝90°，

則∠DBF′＝∠DCF＝90°.

又∵BD＝CD，

∴△DCF≌△DBF′(SAS)．

∴DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF.

又∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，

∴∠EDB＋∠CDF＝60°.

∴∠EDB＋∠BDF′＝∠EDF′＝60°.

∴∠EDF′＝∠EDF.

又∵DE＝DE，

∴△EDF′≌△EDF(SAS)．

∴EF＝EF′＝BE＋BF′＝BE＋CF.

(3)解：結論發(fā)生變化．EF＝CF－BE.

理由：在射線AB上取點F′，

使BF′＝CF，連接DF′.

由(1)得∠DBA＝∠DCF＝90°，

則∠DBF′＝∠DCF＝90°.

又∵BD＝CD，

∴△DCF≌△DBF′(SAS)．

∴DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF.

又∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，

∴∠FDB＋∠CDF＝60°.

∴∠FDB＋∠BDF′＝∠FDF′＝120°.

∴∠EDF′＝∠EDF=60°.

又∵DE＝DE，DF＝DF′，

∴△EDF′≌△EDF(SAS)．

∴EF＝EF′＝BF′- BE＝CF- BE。