Question

(本題滿分9分)

劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見圖①、②．圖①中，，，；圖②中，，，．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將的直角邊與的斜邊重合在一起，并將沿方向移動．在移動過程中，、兩點(diǎn)始終在邊上(移動開始時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合)．

(1)在沿方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：、兩點(diǎn)間的距離逐漸  ▲  ．

  (填“不變”、“變大”或“變小”)

(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當(dāng)移動至什么位置，即的長為多少時(shí)，、的連線與平行?

問題②：當(dāng)移動至什么位置，即的長為多少時(shí)，以線段、、的長度為三邊長的三角形是直角三角形?

問題③：在的移動過程中，是否存在某個(gè)位置，使得?如果存在，

求出的長度；如果不存在，請說明理由．

請你分別完成上述三個(gè)問題的解答過程．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）變小

（2）

①cm時(shí)，

②當(dāng)時(shí)，以線段、、的長度為三邊長的三角形是直角三角形

③不存在這樣的位置，使得

【解析】（1）變小

（2）問題①：解：∵，，，

∴.

∵,, 

∴.

連結(jié)，設(shè).

∴,在中，DC=4.

∴=12-4.

即cm時(shí)，

問題②：解：設(shè)當(dāng)，

在中，.

（Ⅰ）當(dāng)為斜邊時(shí)，由得，,.

(Ⅱ)當(dāng)為斜邊時(shí)，由得，,（不符合題意，舍去）.

(Ⅲ)當(dāng)為斜邊時(shí)，由得，,,

=144-248<0,

∴方程無解.

∴由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)得，

當(dāng)時(shí)，以線段、、的長度為三邊長的三角形是直角三角形.

問題③不存在這樣的位置，使得.

   假設(shè)，由,得.作的平分線，交于,

   則,

∴.

   ∴,.

∴.

    ∴不存在這樣的位置，使得.