Question

如圖，點A（-2，0）、B（4，0）、C（3，3）在拋物線y=ax²+bx+c上，點D在y軸上，且DC⊥BC，∠BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)后兩邊與x軸、y軸分別相交于點E、F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）CF能否經(jīng)過拋物線的頂點？若能，求出此時點E的坐標(biāo)；若不能，說明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求點F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線與X軸的兩個交點A、B的坐標(biāo)，可以由兩根式設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+2）（x-4），求出a的值即可；
（2）由C、B兩點坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可以求得CB直線方程為：y=-3x+12，設(shè)CD直線方程可以設(shè)為：y=x+m，求出m的值，進(jìn)而求出D點的值，由拋物線解析式可以頂點公式或?qū)ΨQ軸x=1解得頂點M坐標(biāo)，由C、M兩點坐標(biāo)可以求得CM即CF直線方程，CE直線方程可以設(shè)為：y=x+n，求出n的值，進(jìn)而求出E點的坐標(biāo)；
（3）由C、D兩點坐標(biāo)可以求得CD=，△FDC是等腰△可以有三種情形：①當(dāng)FD=CD；②FC=CD；③FD=FC，分別求出F點的坐標(biāo)即可；
解答：解：（1）由拋物線與X軸的兩個交點A、B的坐標(biāo)，
可以由兩根式設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+2）（x-4），
然后將C點坐標(biāo)代入得：a（3+2）（3-4）=3，
解得：a=-，
故拋物線解析式是：y=-（x+2）（x-4）；

（2）由C、B兩點坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可以求得CB直線方程為：y=-3x+12，
∵CD⊥CB，
∴CD直線方程可以設(shè)為：
y=x+m，
將C點坐標(biāo)代入得：m=2，
∴CD直線方程為：y=x+2，
∴D點坐標(biāo)為：D（0，2），
由拋物線解析式可以頂點公式或?qū)ΨQ軸x=1解得頂點M坐標(biāo)為M（1，），
∴由C、M兩點坐標(biāo)可以求得CM即CF直線方程為：y=-x+，
∴F點坐標(biāo)為：F（0，），
∴CE直線方程可以設(shè)為：y=x+n，
將C點坐標(biāo)代入得：n=，
∴CE直線方程為：y=x+，
令y=0，解得：x=-，
∴E點坐標(biāo)為E（-，0），
∴能；
（3）由C、D兩點坐標(biāo)可以求得CD=，
則△FDC是等腰△可以有三種情形：
①FD=CD=，
則F點坐標(biāo)為F（0，2+），
②FC=CD=，過C點作y軸垂線，垂足為H點，
則DH=1，
則FH=1，
則F點坐標(biāo)為F（0，4），
③FD=FC，作DC的中垂線FG，交y軸于F點，交DC于G點，
由中點公式得G點坐標(biāo)為G（，），
由DC兩點可以求得DC直線方程為：y=x+2，
則FG直線方程可以設(shè)為：y=-3x+p，
將G點坐標(biāo)代入解得：p=7，
故F點坐標(biāo)為（0，7）．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及其解析式的求法，特別是（3）問需要分類討論，此題難度較大，希望同學(xué)們仔細(xì)作答．