Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4的圖象與x軸交于點(diǎn)B(－2，0)、點(diǎn)C(8，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接AC、AB，若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合)，過點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)連接OM，在(2)的結(jié)論下，線段AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PM，求PM＋PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；(2) N（3，0）； (3) P(1，) ．

【解析】

（1）由B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）可設(shè)N（n，0），則可用n表示出△ABN的面積，由NM∥AC，可求得，則可用n表示出△AMN的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時(shí)n的值，即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)PD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E為M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，作EF⊥x軸于點(diǎn)F，則PM＋PC的最小值即為EF的長(zhǎng)．求出直線AC的解析式，并證明,再由（2）知，利用中點(diǎn)公式可得E的坐標(biāo)，再將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入直線AC，從而得解．

（1）將點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+4可得，

解得，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+x+4；

（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0）（﹣2＜n＜8），則BN=n+2，CN=8﹣n．

∵B（﹣2，0），C（8，0），

∴BC=10，

在y=﹣x2+x+4中，令x=0，可解得y=4，

∴點(diǎn)A（0，4），OA=4，

∴S△ABN=BNOA=（n+2）×4=2（n+2），

∵M(jìn)N∥AC，

∴

∴

∴

∵﹣＜0，

∴當(dāng)n=3時(shí)，即N（3，0）時(shí)，△AMN的面積最大；

（3）如圖，過點(diǎn)PD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E為M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，作EF⊥x軸于點(diǎn)F，

,易得，當(dāng)E、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，可知PM＋PC的最小值即為EF的長(zhǎng)．

由（2）可得M(-1,2),

由A(0,4)，B(-2,0),C(8,0),得直線AC:

在中，，

，

即是直角三角形，且,

∵M(jìn),E關(guān)于AC對(duì)稱，

∴A（0，4）是ME的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，

∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)是1，代入，得y=,

則P(1，) ．