Question

如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點坐標為A(-2, 0).

   （1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；

   （2）求C點坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；

   （3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由;

   （4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）∵拋物線的圖象經(jīng)過點A(-2, 0)

        ∴有………………………1分

        ∴

        ∴ ………………………………………………2分

        ∴ 拋物線解析式為 ……………3分

        ∴對稱軸方程為：

                即為所求………………………………………4分

        （或用配方法求出對稱軸方程，酌情給分）

   （2）在中，令則

                             

        ∴ 點C(0, 4) ……………………………………………1分

        令，則………………………2分

       

        …………………………………………3分

        ∴ A(-2, 0）  B(8, 0)   …………………………………4分

        設直線BC的解析式為，

        把B(8, 0), C(0, 4)的坐標分別代入解析式

        則有，    ……………………………………5分

        ∴

        ∴ 直線BC的解析式為 …………………6分

   （3）可判定△AOC∽△COB成立.…………………………1分

        理由如下：在△AOC與△COB中

        ∵OA=2 ，OC=4 ，OB=8

        ∴   ………………………2分

        ∴有，………………………………………3分

又∠AOC=∠BOC=90°…………………………………4分

 ∴△AOC∽△COB………………………………………5分

   （4）∵拋物線的對稱軸方程為：

        可設點Q(3, t)則可求得，

       

       

        ………1分

    i）當時，

       有

      

       

          ∴ Q₁(3, 0) …………………2分

    ii）當時，

        有

        ，此時方程無實數(shù)根.

        ∴ 此時△ACQ不能構成等腰三角形……3分

    iii）當時，

       

       

       

        ∴ 點Q坐標為：Q₂(3, )    Q₃(3, )…………………5分

        故滿足條件的Q點坐標為：Q₁(3, 0),  Q₂(3, ) ， Q₃(3, )