Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：CF=BC-CD．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上（如圖2），在線段CB的延長(zhǎng)線上（如圖3）時(shí)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？若成立請(qǐng)選擇一種情況進(jìn)行證明，如不成立，請(qǐng)直接寫出新的關(guān)系式不需證明．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF=BC-CD；

（2）解：（1）中結(jié)論不成立，圖2中的關(guān)系式為：CF=BC+CD．理由如下：
∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF=BC+CD；
圖3中的關(guān)系式為：CF=CD-BC．理由如下：
∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF-∠BAC=∠BAC-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF=CD-BC．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AF，∠DAF=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠BAD=∠CAF，則根據(jù)“SAS”可判斷△ABD≌△ACF，得到BD=CF，所以CF=BC-CD；
（2）對(duì)于圖2，由四邊形ADEF為正方形得到AD=AF，∠DAF=90°，則∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，則根據(jù)“SAS”可判斷△ABD≌△ACF，得到BD=CF，所以CF=BC+CD；
對(duì)于圖3，由四邊形ADEF為正方形得到AD=AF，∠DAF=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠BAD=∠CAF，則根據(jù)“SAS”可判斷△ABD≌△ACF，得到BD=CF，所以CF=CD-BC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判斷三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”．也考查了正方形的性質(zhì)．