Question

【題目】已知拋物線（為正整數(shù)，且）與軸的交點為和，，當時，第1條拋物線與軸的交點為和，其他依次類推．

（1）求，的值及拋物線的解析式；

（2）拋物線的頂點的坐標為（ ， ）；依次類推，第條拋物線的頂點的坐標為（ ， ）；所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系式是 ；

（3）探究下列結論：

①是否存在拋物線，使得為等腰直角三角形？若存在，請求出拋物線的表達式；若不存在，請說明理由；

②若直線與拋物線分別交于則線段，，…則線段，，…的長有何規(guī)律？請用含的代數(shù)式表示．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）3，9，，，；（3）①存在，，②．

【解析】

(1)A1(2，0)，則C1=2，則C2=2+2=4，將點A、A1的坐標代入拋物線表達式可求得，，由A1(2，0)，則C1=2，則C2=2+2=4，即可求得答案；

(2)同理可得：a3=3，b3=9，依此推出點的坐標為(n，n2)，故所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系式是：y=x2，即可求解；
(3)①△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn2=2ABn2，即(2n)2=2(n2+n4)，即可求解；
②由題意得，，求得 ，即可求解．

(1)當時，第1條拋物線與軸的交點為，，

∴則，．

由可知，，

∴拋物線與軸的交點為，，

；

故答案為：，，；

(2)同理可得：拋物線與軸的交點為，，

，

∴a3=3，b3=9，

，
依此推出：點(n，n2)；
故所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系式是：y=x2，
故答案為： 3，9，，，；

(3)①存在，由(1)，(2)得，．

當為等腰直角三角形，則AAn2=2ABn2，即，

∴，

解得，(舍去)

∴存在拋物線使得為等腰直角三角形，

此時拋物線為：

②∵．

當時，，，

∴，

∴．