Question

已知，拋物線y＝ax²＋4ax＋t與x軸的一個交點為A(－1，0)

(1)求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)；

(2)D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；

(3)E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點，如果點E在(2)中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△APE的周長最�。咳舸嬖�，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(1)依題意，拋物線對稱軸為x＝－2 　　∵拋物線與x軸的一個交點為A(－1，0) 　　∴由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為(－3，0) 　　(2)∵拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個交點為A(－1，0) 　　∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0 　　∴t＝3a 　　∴y＝ax2＋4ax＋3a 　　∴D(0，3a) 　　∵梯形ABCD中，AB∥CD 　　且點C在拋物線y＝ax2＋4ax＋3a上，∴C(－4，3a) 　　∴AB＝2，CD＝4 　　∵梯形ABCD的面積為9 　　∴(AB＋CD)·CD＝9 　　∴(2＋4)|3a|＝9 　　∴a＝±1 　　∴所求拋物線的解析式為y＝x2＋4x＋3或y＝－x2－4x－3 　　(3)設(shè)點E坐標(biāo)為(xO，yO) 　　依題意，x0＜0，y0＞0，且＝ 　　∴y0＝－x0 　　設(shè)點E在拋物線y＝x2＋4x＋3上， 　　∴y0＝＋4x0＋3 　　解方程組 　　得　　 　　∵點E與A在對稱軸x＝－2的同側(cè) 　　∴點E坐你為(－，) 　　設(shè)在拋物線的對稱軸x＝－2上存在一點P，使△APE的周長最�。� 　　∵AE長為定值 　　∴要使△APE的周長最小，只須PA＋PE最小． 　　∵點A關(guān)于對稱軸x＝－2的對稱點是B(－3，0) 　　∵由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點． 　　設(shè)過點E、B的直線的解析式為y＝mx＋n， 　　∴ 　　解得∴直線BE的解析式為y＝x＋ 　　把x＝－2代入上式，得y＝ 　　∴點P坐標(biāo)為(－2，) 　　設(shè)點E在拋物線y＝－x2－4x－3上， 　　∴y0＝－x02－4x0－3 　　解方程組 　　消去y0，得＋x0＋3＝0 　　∵Δ＜0 　　∴此方程無實數(shù)根 　　綜上，在拋物線的對稱軸上存在點P． 　　解法二： 　　(1)∵拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個交點為A(－1，0) 　　∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0 　　∴t＝3a 　　∴y＝ax2＋4ax＋3a 　　令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0， 　　解得：x1＝－1，x2＝－3 　　∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為(－3，0) 　　(2)由y＝ax2＋4ax＋3a，得D(0，3a) 　　∴梯形ABCD中，AB∥CD 　　且點C在拋物線y＝ax2＋4ax＋3a上 　　∴C(－4，3a) 　　∴AB＝2，CD＝4 　　∵梯形ABCD的面積為9 　　∴(AB＋CD)·OD＝9 　　解得OD＝3 　　∴|3a|＝3 　　∴a＝±1 　　∴所求拋物線的解析式為y＝x2＋4x＋3或y＝－x2－4x－3 　　(3)同解法一得，P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點． 　　如圖，過點E作EQ⊥x軸于點Q 　　設(shè)對稱軸與x軸的交點為F 　　由PF∥EQ， 　　可得＝ 　　∴＝ 　　∴PF＝ 　　∴點P坐標(biāo)為(－2，) 　　以下同解法一．

提示：

有關(guān)二次曲線和二次方程的問題蘊(yùn)含很多知識點，有較大的命題空間，所以一直是各地中考命題的熱點．這類問題的敘述往往較長，先給出一些總的前提條件，而后一般給出2～3個小問題，其中每個小問題再給出幾個針對這個問題的條件．本題第(1)小題可以根據(jù)拋物線的對稱性求得，亦可令y＝0解出二次方程的根，即為拋物線與x軸的交點坐標(biāo)．第(2)小問利用梯形ABCD的面積，求出a的值，進(jìn)而求得拋物線的解析式．第(3)小問是一道結(jié)論探索性問題，這類問題的敘述形式往往敘述為“若存在，請求出，若不存在，請說明理由”．通常的解法是，按求解題去做，若遇到不可逾越的困難或矛盾，再設(shè)法從“不存在”方面去考慮．求本小題的關(guān)鍵在于通過圖形的分析得到直線BE的解析式，由此確定P點坐標(biāo)，使問題得到解決．